基于有限差分的高壓油管的壓力控制

席禹　唐健

摘要：針對問題一，第一小問分析高壓油管壓強與時間的關系，按照流體力學的計算特點，構建微分函數。利用有限差分法將微分方程組轉化成差分方程組，設置步長為0.01ms，設 計目標函數，根據相應約束條件確定單向閥開啟時間，使高壓油管達到100MPa且保持穩 定的時間最短。最終求得單向閥初始開啟時間為0ms時，高壓油管達到穩定的時長最短為 2.82ms。第二小問將單向閥開啟時長的確定分成兩個階段。第一階段，在規定時間左右管內壓 強由100MPa轉變為150MPa。確定每次單向閥開啟時間為定值，利用流體力學構建差分方程，確立油管壓力變化至150MPa所需的時間距規定時間最接近的目標函數，利用遺傳算法分別求出2s恰好達到150MPa，單向閥開啟時長為8.14ms;5s的最優）為6.74ms;10s的最優解為6.69ms。第二階段，在規定時間達到穩定壓強后，每周期開啟單向閥維持壓強的時間為6.46ms。針對問題二，首先擬合出凸輪的外輪廓，求出最高點距離極點的高度與凸輪旋轉角度的關系，高度的變化引起柱塞腔內壓力的變化，進而改變柱塞腔內的密度，進一步求得柱塞腔內壓力的變化函數。其次，利用附件以及最下端噴口的約束條件，擬合出針閥工作時噴油流速與時間的關系。再次，建立差分方程組，求出壓力關于時間和凸輪角速度的函數表達式。最后為了滿足提議要求，建立目標函數和約束條件，求出凸輪角速度為 n/25rad/ms。針對問題三：第一小問相對于問題二增加一個完全相同的噴油嘴，則可以類比問題 二的差分方程，只有出口的流量為原來的兩倍。通過求解差分方程，列出目標函數，最 終求出最穩定在100MPa的凸輪的角速度，則噴油策略使凸輪角速度保持為n/10rad/ms。第二小問是在第一問的基礎上，又增加了一個減壓閥。建立減壓閥負反饋控制系統，在此基礎上列出差分方程和目標函數，求出凸輪的角速度為2n/5rad/ms，則高壓油泵的凸 輪角速度保持為2n/5rad/ms，減壓閥控制方案采用負反饋自動控制。

關鍵詞：有限差分;流體力學;單目標優化;遺傳算法

1問題分析

1.1問題一的分析

針對第一問，要求設置單向閥每次開啟時長，使高壓油管內的壓力盡可能穩定在100MPa左右。因此本文嘗試利用流體力學的規律研究單向閥開啟時長的分布規律。首先以噴油 閥每次工作的時長為一個周期，我們需要分析高壓油管的工作全過程，建立高壓油管壓 強與時間的變化模型，并根據題目中所給出的彈性模量與壓力的關系和高壓流管道的流 量建立定）方程;最后，利用迭代的思想求出定解問題的數值），從而得到單向閥開啟時 間的數據。

第二問，要求在規定時間內高壓油管的壓力由100MPa增加到150MPa，且穩定在150MPa，我們以一周期為最小單元進行研究，設置單向閥開啟時長固定。首先仿照模型一構建差 分方程，根據題設要求寫出相應的目標函數，即油管壓力變化且穩定到150MPa所需的時 間距離規定時間最近，列出約束條件。利用迭代和遺傳算法接觸近似）。接著列出在規定 時間后維持穩定150MPa壓強與時間的關系，用差分法求出維持壓強時單向閥開啟時間。

1.2問題二的分析

相較于問題一，問題二將單向閥門進口流量和壓強;以及噴孔處的壓強和流量作了更細化的控制。首先利用附件一求出凸輪的函數圖像，進一步分析單向閥門壓強與凸輪轉動角度的關系，最終求得高壓油泵柱塞腔內的壓強變化表達式。接著，利用附件和注2，得出出口在100ms的周期內的工作狀態，最終算出噴油流速與時間的關系。將兩者結合，綜 合考慮分界面上的壓強關系，列出差分方程，和對應的目標函數，進行求解。

1.3問題三的分析

問題三分為兩小問，第一小問為增加一個相同的噴油嘴后噴油和供油的策略。因為是增加一個完全相同的噴油嘴，該小問可以類比問題二，列出與問題二基本一致的差分方程，只有出口的流量為由一倍增加到兩倍。通過求解差分方程，列出目標函數，最終求 出最穩定在100MPa的凸輪的角速度。

第二小問是在第一問的基礎上，又增加了一個減壓閥。首先分析減壓閥的工作原理， 仿照第一問列出差分方程和目標函數，求出凸輪的角速度。

3、通過對高壓油管內壓強、流量和密度的相互關系，且考慮短時間內各變量保持不變，將模型簡化，便于求解。

4、在考慮問題二時，單向閥A的剛開啟時，高壓油泵和油管之間的壓力差為0，分析無法采用問題中注二的公式求流量Q，根據具體情況我們將為0時，流量Q的求法進行 改進。

結語

本文研究可壓縮流體在高壓油管內由單向閥等控制的策略，且文中所計算的控制時 間為穩定在100MPa下控制高壓油管內壓強等的最優時間，在燃油發動機中等實際應用中，可以推廣應用。

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