“未知量多于等量”解題技法

陳建東

翻閱歷年中考數學試卷，不難發現有這樣一類應用問題：題目中只能找到一個等量關系，但又涉及兩個未知量，也就是說未知量多于等量. 是命題專家出錯了試題嗎？其實不然，求解時我們只需從等量關系的實際意義出發，先引進兩個未知數，再利用整數的性質求解即可. 現舉四例進行說明.

一、整數法

例1（2019·黑龍江·齊齊哈爾）學校計劃購買A和B兩種品牌的足球，已知一個A品牌足球60元，一個B品牌足球75元. 學校準備將1500元錢全部用于購買這兩種足球（兩種足球都買），該學校的購買方案共有（ ）.

A. 3種 B. 4種 C. 5種 D. 6種

解析：此類問題的求解一定要考慮到足球的個數是正整數.

設購買A品牌足球x個、B品牌足球y個，

根據總價=單價 × 數量，可得60x + 75y=1500，∴y=20 - [45]x.

故應選B.

二、整體法

例2（2019·浙江·寧波）小慧去花店購買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元;若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元. 若只買8支玫瑰，則她所帶的錢還剩下（ ）.

A. 31元 B. 30元 C. 25元 D. 19元

三、列舉法

故應選B.

四、討論法

例4（2019·江蘇·鹽城）體育器材室有A，B兩種型號的實心球，1只A型球與1只B型球的質量共7千克，3只A型球與1只B型球的質量共13千克.

（1）每只A型球、B型球的質量分別是多少千克？

（2）現有A型球、B型球的質量共17千克，則A型球、B型球各有多少只？

解析：（1）設每只A型球x kg，每只B型球y kg，有兩個等量關系：1只A型球的質量+1只B型球的質量=7千克，3只A型球的質量+1只B型球的質量=13千克，列出方程組[x+y=7，3x+y=13，]解得[x=3，y=4，]則每只A型球3 kg，每只B型球4 kg.

（2）考慮到A型球、B型球的質量共17千克，這樣可引進一個未知數，進而通過分類討論解決問題.

設A型球1只，B型球a只，根據題意得3 + 4a = 17，解得a=[72]，不符合題意;

設A型球2只，B型球b只，根據題意得6 + 4b = 17，解得b=[114]，不符合題意;

設A型球3只，B型球c只，根據題意得9 + 4c = 17，解得c=2，符合題意;

設A型球4只，B型球d只，根據題意得12 + 4d = 17，解得d=[54]，不符合題意;

設A型球5只，B型球e只，根據題意得15 + 4e = 17，解得e=[12]，不符合題意;

設A型球6只，B型球f只，根據題意得18 + 4f = 17，解得f=-[14]，不符合題意;……

于是符合題意的情況只有A型球3只、B型球2只這一種情況，則A型球有3只，B型球有2只.

（2020·黑龍江·龍東）學校計劃用200元購買A，B兩種獎品，A種獎品每個15元，B種獎品每個25元，在錢全部用完的情況下，有多少種購買方案.（ ）

A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種

答案：B