猴子分桃問題

林革

美籍華裔物理學家李政道曾給中國科技大學少年班的同學出過下面這道趣味數學題：在一個荒島上，一堆桃子是五只猴子的公共財物. 有一天，5只猴子睡著了，后來有1只猴子醒來，將桃子平均分成5份，多出1個，它吃掉了這個桃子并帶走了自己的1份; 第2只猴子醒來，它不知道伙伴已取走一份，就將剩下的桃又平均分成5份，多出1個，它吃掉了這個桃子并帶走了自己的一份; 以后每只猴子醒來都照此辦理. 請問：原來最少有多少個桃子？剩下多少個桃子？

這是在西方極為流行的一道趣味數學名題，有關此題的各種變化版本很多，流傳甚廣. 當然其解法也有許多，有些解答頗為耐人尋味. 下面就向大家介紹常見的三種解答方法.

解法1：不妨假設第1只、第2只、第3只、第4只、第5只猴子分的一份桃子數分別為a，b，c，d，e，根據題意畫出如下示意圖，不難看出上下行中虛線的關聯：

4a = 5b + 1， ①

4b = 5c + 1， ②

4c = 5d + 1， ③

4d = 5e + 1， ④

將①兩邊擴大4倍得：

16a = 20b + 4. ⑤

將②兩邊擴大5倍得：

20b = 25c + 5. ⑥

將⑥代入⑤得：

16a = 25c + 9. ⑦

對③④同樣處理可得：

16c = 25e + 9. ⑧

類似地，將⑦兩邊擴大16倍得256a = 25 × 16c + 144. ⑨

將⑧兩邊擴大25倍得25 × 16c = 625e + 225. ⑩

將⑩代入⑨得256a = 625e + 369.

則a =? =? =? =? - 1.

a是整數，則必為整數，而625和256互質，所以e + 1肯定是256的倍數. 既然要求這堆桃子的最少數，那么e + 1 = 256，則e = 256 - 1 = 255，即第5只猴子帶走的一份至少為255個.

結合示意圖逆向倒推：第4只猴子帶走的一份d = （255 × 5 + 1） ÷ 4 = 319（個）;第3只猴子帶走的一份c = （319 × 5 + 1） ÷ 4 = 399（個）;第2只猴子帶走的一份b = （399 × 5 + 1） ÷ 4 = 499（個）;第1只猴子帶走的一份a = （499 × 5 + 1） ÷ 4 = 624（個）. 則這堆桃子原來最少有5a + 1 = 5 × 624 + 1 = 3121（個），剩下的桃子為4e = 4 × 255 = 1020（個）.

反思：這種“關聯貫穿”的解答策略就是牢牢抓住“前次剩下數為后次分配數”的關系，用字母代替數，由此及彼快速地構建貫通橋梁，以題意的“最少”作為范圍限制，得出唯一可能，使問題迎刃而解.

解法2：把這堆桃子添加4個，加上原先多余被吃掉的1個桃子，則第1只猴子來分時，恰好能分為5份（每份比原來多一個），它走后，留下了4份，這4份比原來留下的4份多4個桃子; 同樣第2只猴子來分時，由于現在留下的比原來留下的多出了4個，所以又可以恰好分成5份（每份也比原來多一個），它走后，留下了4份，這4份比原來留下的4份多4個桃子;依此類推，每只猴子都可以把桃子分成5份. 這樣最后一只猴子分桃時，可設桃子為5k（k為整數）個，是第4只猴子分剩下的4份，這時1份為5k ÷ 4，則第4只猴子分桃時的桃子數為（5k ÷ 4） × 5 = 25k ÷ 4;顯然，25k ÷ 4也是第3只猴子分剩下的4份，這時1份為（25k ÷ 4）? ÷ 4 = 25k ÷ 16，則第3只猴子分桃時的桃子數為（25k ÷ 16） × 5 = 125k ÷ 16;第2只猴子分桃時的桃子數為（125k ÷ 16） ÷ 4 × 5 = 625k ÷ 64;第1只猴子分桃時的桃子數為（625k ÷ 64） ÷ 4 × 5 = 3125k ÷ 256. 因為桃子數為整數，所以k肯定是256的倍數. 又要求桃子數最少，只能是k = 256，則第1只猴子分桃時的桃子數為3125，減去當初添加的4個桃子，可知這堆桃子至少有3125 × 1 - 4 = 3121（個）. 剩下的桃子為4k - 4 = 4 × 256 - 4 = 1020（個）.

反思：這種解答策略是“添加湊整”，就是把這堆桃子添加4個后，使每只猴子分配桃子時都恰好等分沒有多余，從而就繞開了令人頭疼的障礙，使原先復雜的問題得以簡化.

解法3：為了避開使問題復雜化的多余情形，我們不妨大膽想象，假定這堆桃子可以均分5次，并且每次都可分成5等份，那么這堆桃子的個數至少應該有5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125（個）. 這樣，第1只猴子取走一份5 × 5 × 5 × 5，還剩下（5 × 5 × 5 × 4） × 5，仍能均分成5份;第2只猴子再取走一份5 × 5 × 5 × 4，還剩下（5 × 5 × 4 × 4） × 5，也能均分成5份;第3只猴子再取走一份5 × 5 × 4 × 4，還剩下（5 × 4 × 4 × 4） × 5，還能均分成5份;第4只猴子再取走一份5 × 4 × 4 × 4，還剩下（4 × 4 × 4 × 4） × 5，仍能保證第5只猴子均分5份.

事實上，這堆桃子總數不能被5整除，而是必須減去1后才能被5整除，這堆桃子的個數就是3125 + 1 = 3126（個）. 而5次5等分之前都減去1個，合計減去5個，則這堆桃子至少有3126 - 5 = 3121（個）.

反思：這種解答策略是“假設調整”，就是假設每次都能5等分的理想情境，然后根據題意條件進行適當調整. 這種解答策略具有“U型”思維的鮮明特征，以迂回達成高效，以另辟蹊徑達成目標，不僅易于領會便于理解，而且能讓人從茅塞頓開的指引中恍然大悟擊節贊嘆.

（作者單位：揚州職業大學）