暗含玄機的“波利亞謎題”

林革

喬治·波利亞是美籍匈牙利數學家、教育家、數學解題方法論的開拓者. 他十分重視解題方法在數學學習中的作用，并對解題方法進行了多年的研究和實踐，終于繪制出一張舉世聞名的《解題表》，給出一套解決數學問題的一般方法與模式. 該表被各國數學界奉為解題寶典. 眾多數學愛好者應用了該表，紛紛表示對該表的“奇效”心悅誠服.

下面介紹一則由波利亞設計的耐人尋味的數學趣題：某人步行了5小時，先沿著平路走，然后上了山，最后又沿原路走回原地，假如他在平路上每小時走4千米，上山每小時走3千米，下山每小時走6千米，試求他5小時共走了多少千米.

大家知道，如果某人勻速走路，知道了他的速度和走的時間，則很容易求出他在這段時間內走過的路程. 可這道題中敘述的是比較復雜的情況，既有平路，又有上山，還有下山，更困難的是既不知他沿平路走了多少時間，又不知他上山或下山走了多少時間. 按照常規思路，這道題因條件不夠無法解答. 事實果真如此嗎？現在就讓我們一起作一番探究吧！

首先，可以定性判斷的是，上山比在平地走得慢，下山比在平地走得快，因而上山比在平地上走同樣長的路程費時間，下山比在平地上走同樣長的路程省時間.

其次，可以定量計算此人上山比在平地上走同樣長的路程費的時間，與他沿原路下山比在平地上走同樣長的路程省的時間哪個多哪個少. 由于上山的路程與下山的路程同樣長，所以我們可以把上山、下山及在平地上走過單位長距離（比如1千米）所需的時間進行比較. 上山走一千米比平地走1千米多費的時間為 -? =? （小時），下山走1千米比平地走1千米少用的時間為 -? =? （小時）.

于是，我們發現此人上山多費的時間與沿原路下山所省的時間恰好抵消. 也就是說，題意的轉化理解為：相當于他一直在平地上行走了5小時，因此他共走了4×5 = 20（千米）. 這種算術解法巧妙而又獨特，連小學生也能理解.

而更具有一般性和應用性的方法是運用方程的知識來思考分析. 我們不妨設這個人5小時走的路程為x千米，他上山、下山各走了y千米，因為已知平地、上山、下山的速度，則全部行程中平地、上山、下山、平地這四段時間分別為，，，，顯然 +? +? +? = 5成立，這個方程表面上是一個不定方程，但對此式化簡后，y的系數變成了0，方程化為? = 5 ，可以求出x = 20. 這樣解答的特點在于，把所有未知量都當作已知量進行順向分析，思考時沒有障礙，解答水到渠成.

也許，有的同學會對前面的算術解答情有獨鐘，那么必須指出的是：這道題目具有一定的特定性，若是題意條件發生變化，即若此人上山費的時間與下山省的時間不是恰好抵消，前面的解答就有待推敲了. 為了更好地說明這點，大家來看下面的這個問題：假如一只船在靜水中航行的速度是每小時4千米，水流的速度是每小時3千米. 現在這只船先逆水由甲碼頭駛向乙碼頭，再順水從乙碼頭駛回甲碼頭，問：此船在甲、乙兩個碼頭間一個來回的平均速度是否等于它在靜水中的速度？

我們把船在靜水中的速度記為v靜，把水流的速度記為 v水，則船在順水行駛（往下游行駛）時的實際速度 v順 = v靜 + v水，船在逆水行駛（往上游行駛）時的實際速度v逆 = v靜 - v水，因而在本題中v順 = 4 + 3 = 7（千米/小時），v逆 = 4 - 3 = 1（千米/小時）.

如果我們把兩個碼頭間的距離當作1，把船在靜水中行駛類比為人在平地上行走，把船在逆水中行駛類比為人往山上走，把船在順水中行駛類比為人往山下走，則在本題中會不會得出? -? =? - 這個類似上例的結論呢？根據題意條件知： -? =? -? = ， -? =? -? = ，可見 -? ≠? - ，因此此船在甲、乙兩個碼頭間一個來回的平均速度不等于它在靜水中的速度. 你明白了嗎？也許還有同學接著問：那這兩者究竟誰大誰小呢？好，我們再求出本題中的平均速度v.

設甲、乙碼頭間相距s千米，船從甲碼頭逆水而上駛至乙碼頭用的時間為t逆，回來用的時間為t順，則 =? =? =? < 4，可見船在甲、乙兩個碼頭間一個來回的平均速度小于船在靜水中的速度.

也許有的同學仍然不依不饒：“如果把船速和水速這兩個已知數改變一下，是否還有此結論呢？”看起來這倒是個值得探討的問題. 我們不妨從一般性情形入手，來進行綜合判斷.? =? =? =? = v靜 -? < v靜，也就是說，無論什么情況下，只要船在流動的水面上行駛，先逆水再順水行駛一個來回的平均速度永遠要小于船在靜水中的速度. 這下你清楚了嗎？

（作者單位：揚州職業大學）