中考數學壓軸題中的“新定義”型問題例析

毛利平

“新定義”型問題是近年來全國各地中考試題命制者研究的熱門方向，.它需要學生閱讀題目給出的相對于學生來說是新知識的材料，并在理解的基礎上加以運用，以解決新問題，它主要考查學生自己閱讀材料獲取新知識，即時理解新知識和運用新知識解決相應問題的能力.筆者就近三年南通市中考數學壓軸題中的“新定義”型問題加以評析.

例1.（2017年南通市）我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”。

（1）等邊三角形“內似線”的條數為???;

（2）如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內似線”;

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長.

【解答】（1）解：等邊三角形“內似線”的條數為3條;理由如下：

過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖1所示：

則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，

∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”;

故答案為：3;

（2）證明：∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

∴△BCD∽△ABC，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠ABC，

即BD過△ABC的內心，

∴BD是△ABC的“內似線”;

（3）解：設D是△ABC的內心，連接CD，則CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內似線”，

∴△CEF與△ABC相似;

分兩種情況：①當時，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴，

作DN⊥BC于N，如圖2所示：

則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，

∴=1，

∵CD平分∠ACB，

∴，

∵DN∥AC，

∴，即，

∴，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴，即，

解得：;

②當時，同理得：;

綜上所述，EF的長為.

評析：本題是相似三角形的幾何綜合題目，考查了相似三角形的判定和性質、三角形的內心、勾股定理、直角三角形的內切圓等知識.同時又能有效承載考查學生能力，關注學習和探究問題解決的過程，充分體現了 “重視過程性學習”理念，把陌生的、要解決的問題轉化為熟悉的問題予以解決.

例2.（2018年南通市）【定義】如圖3，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線1的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”.

【運用】如圖4，在平面直坐標系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，）兩點.

（1）C（4，），D（4，），E（4，）三點中，點??是點A，B關于直線x=4的等角點;

（2）若直線l垂直于x軸，點P（m，n）是點A，B關于直線l的等角點，其中m>2，

∠APB=α，求證：;

（3）若點P是點A，B關于直線y=ax+b（a≠0）的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，求b的取值范圍（直接寫出結果）.

【解答】（1）點B關于直線x=4的對稱點為B′（10，），

∴直線AB′解析式為：，

當x=4時，y=.

故答案為：C;

（2）如圖5，過點A作直線l的對稱點A′，連A′B，交直線l于點P.作BH⊥l于點H.

∵點A和A′關于直線l對稱，

∴∠APG=∠A′PG，

∵∠BPH=∠A′PG，

∴∠APG=∠BPH，

又∵∠AGP=∠BHP=90°，

∴△AGP∽△BHP，

∴，即，

∴，即.

∵∠APB=α，AP=AP′，

∴∠A=∠A′=，

在Rt△AGP中，;

（3）點P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時，點P在以AB為弦，所對圓周角為60°，且圓心在AB下方，如圖6.

若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個交點為Q.

由對稱性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°，

∴∠APQ=∠A′PQ=60°，

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°，

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ，

∴△ABQ是等邊三角形.

∵線段AB為定線段，

∴點Q為定點.

若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合，

∴直線y=ax+b（a≠0）過定點Q.

連OQ，過點A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N.

∵A（2，），B（﹣2，），

∴OA=OB=.

∵△ABQ是等邊三角形，

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，

∴∠AOM+∠NOQ=90°，

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO，

∵∠AMO=∠ONQ=90°，

∴△AMO∽△ONQ，

∴，

∴，

∴ON=，NQ=3，

∴Q點坐標為（3，）.

設直線BQ解析式為，

將B、Q坐標代入得，

解得，

∴直線BQ的解析式為：.

設直線AQ的解析式為：y=mx+n，

將A、Q兩點代入得，

解得，

∴直線AQ的解析式為：.

若點P與B點重合，則直線PQ與直線BQ重合，此時，;

若點P與點A重合，則直線PQ與直線AQ重合，此時，.

又∵y=ax+b（a≠0），且點P位于AB右下方，

∴b<且b≠或.

評析：本題以教材“最短路徑模型”構造新定義問題，考查對新定義的理解、運用和探究等，使傳統試題具有新意和活力.考查的知識點主要有軸對稱、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、確定一次函數的解析式等.

例3.（2019年南通市）定義：若實數x，y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數，則稱點M（x，y）為“線點”.例如，點（0，﹣2）和（﹣2，0）是“線點”.已知：在直角坐標系xOy中，點P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）兩點中，點???是“線點”;

（2）若點P是“線點”，用含t的代數式表示mn，并求t的取值范圍;

（3）若點Q（n，m）是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A，B，當

|∠POQ﹣∠AOB|=30°時，直接寫出t的值.

【解答】解：（1）∵當M點（x，y），若x，y滿足x2﹣2y=t，y2﹣2x=t且x≠y，t為常數，則稱點M為“線點”，

又∵P1（3，1），則32﹣2×1=7，（1）2﹣2×3=﹣5，7≠﹣5，

∴點P1不是線點;

∵P2（﹣3，1），則（﹣3）2﹣2×1=7，12﹣2×（﹣3）=7，7=7，

∴點P2是線點，

故答案為：P2;

（2）∵點P（m，n）為“線點”，

則m2﹣2n=t，n2﹣2m=t，

∴m2﹣2n﹣n2+2m=0，m2﹣2n+n2﹣2m=2t，

∴（m﹣n）（m+n+2）=0，

∵m≠n，

∴m+n+2=0，

∴m+n=﹣2，

∵m2﹣2n+n2﹣2m=2t，

∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）=2t，

即：（﹣2）2﹣2mn+2×2=2t，

∴mn=4﹣t，

∵m≠n，

∴（m﹣n）2>0，

∴m2﹣2mn+n2>0，

∴（m+n）2﹣4mn>0，

∴（﹣2）2﹣4mn>0，

∴mn<1，

∵mn=4﹣t，

∴t>3;

（3）設PQ直線的解析式為：y=kx+b，

則，

解得：k=﹣1，

∵直線PQ分別交x軸，y軸于點A、B，

∴∠AOB=90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∵|∠AOB﹣∠POQ|=30°，

∴∠POQ=120°或60°，

∵P（m，n），Q（n，m），

∴P、Q兩點關于y=x對稱，

①若∠POQ=120°時，如圖7所示：

作PC⊥x軸于C，QD⊥y軸于D，作直線MN⊥AB.

∵P、Q兩點關于y=x對稱，∴∠PON=∠QON==60°，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AON=BON=45°，

∴∠POC=∠QOD=15°，

在OC上截取OT=PT，則∠TPO=∠TOP=15°，

∴∠CTP=30°，

∴PT=2PC=2n，TC=，

∴﹣m=，

由（2）知，m+n=﹣2，

解得：m=﹣1﹣，n=﹣1，

由（2）知：mn=4﹣t，t>3，

∴（﹣1﹣）（﹣1+）=4﹣t，

解得：t=6，

②若∠POQ=60°時，如圖8所示，

作PD⊥x軸于D，QC⊥y軸于C，作直線MN⊥AB.

∵P、Q兩點關于y=x對稱，

∴∠PON=∠QON==30°，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AON=BON=45°，

∴∠POD=∠QOC=15°，

在OD上截取OT=PT，則∠TPO=∠TOP=15°，

∴∠DTP=30°，

∴PT=2PD=﹣2n，TD=，

∴，

由（2）知，m+n=﹣2，

解得，，

由（2）知：mn=4﹣t，t>3，

∴，

解得：，

綜上所述，t的值為：6或.

評析：本題是以代數為主線的“新定義”型綜合題目，先閱讀新定義“線點”，弄清楚什么叫“線點”，再由給出的例如點（0，﹣2）和（﹣2，0）是“線點”，進一步理解“新定義”，再根據對“新定義”的理解用填空形式判斷P1（3，1）和P2（﹣3，1）兩點中哪個是“線點”，最后根據“線點”定義以及配方、分類討論、數形結合等數學思想方法解決后面兩問帶含有字母參數的問題，命題者設置三個層次的問題，由易到難，讓不同層次的學生都有所得。

通過以上三例“新定義”型題目的評析，再參考近年來北京等省市中考數學命題提供的信息，讓我們一線教學工作者知道“新定義”型問題將成為各地命制中考數學壓軸題的新亮點，同時需要我們重視學生應用新的知識解決問題的能力，對“新定義”型問題的編制和教學等方面進行有效的探究與研討。