平行四邊形中面積的特殊結論

于嘉帥

【結論】平行四邊形內任意點和它各頂點的連線將四邊形分成四個三角形，則兩組分別相對的兩個三角形面積的和相等，都為平行四邊形面積的一半.

【結論證法】

已知[O]為[?ABCD]內任意一點，求證：[S△ABO+S△DCO=S△BCO+S△ADO] = [12]S[?ABCD].

證法1：如圖1，在[?ABCD]內，過[點O]作[BC]的平行線分別交[AB]，[CD]于[E，F]，

則四邊形[AEFD]和四邊形[BEFC]都為平行四邊形，[△OBC]和[?][BEFC]等底等高，

[∴S△OBC=12S?BEFC]，同理[S?ADO=12S?AEFD]，

[∴S△CBO+S△ADO=12（S?BEFC+S?AEFD）=12S?ABCD].

同理可得[S△ABO+S△DCO=12S?ABCD.]

[∴S△ABO+S△DCO=S△BCO+S△ADO] = [12S?ABCD].

證法2：如圖2，過點[O]作[EF?BC]交[BA，CD]于[E，F]，

再過[點O]作[GH][?AB]，交BC，DA于[G，H]，

圖2中8個三角形的面積用[S1]，[S2]…[S8]所示，

[∵]四邊形[AEOH]是平行四邊形，

[∴S1=S8]，同理[S2=S3，S7=S6，S5=S4]，

[∴（S1+S2）+（S5+S6）=（S7+S8）+（S3+S4）]，

即[S△ADO+S△BCO=S△ABO+S△DCO] = [12S?ABCD].

證法3：如圖3，過點[O]作[EF⊥AB]，交[AB]于[E]，交[CD]于[F]，

[∵][CD?AB]，[∴EF⊥CD]，

[∴S△ABO+S△DCO=12AB·OE+12CD·OF]

= [12（OE+][OF） ·AB=12EF·AB=12S?ABCD]，

同理，[S△BCO+S△ADO=12S?ABCD]，[∴S△ADO+S△BCO=S△ABO+ S△DCO] [=12S?ABCD].

【應用結論】

例1（2019·安徽·安慶）如圖4，點[P]在[?ABCD]的內部，[PA，PB，PC，PD]將[?ABCD]分成4個三角形，它們的面積分別為[a]，[ar]，[ar2]，[ar3（a>0，r>0）]，試確定點[P]的位置，并說明理由.

解析：由前面結論知：[a+ar2=ar+ar3，∴a（1+r2）=ar（1+r2） ，]

[∵a>0，r>0]，[∴1+r2>0]，[∴r=1]，[∴][a=ar=ar2=ar3]，

由于在[?ABCD]中4個三角形的面積相等，所以點P是[AC]和[BD]的交點.

理由：當[AC]和[BD]交于點[P]時，∵[PA=PC]，

∴[S△PAD=S△PCD]（等高），同理[S△PAD=S△PAB，S△PCD=S△PCB]，

故[S△PAB=S△PBC]，[S△PCD=S△PAD]，說明點[P]是[AC]和[BD]的交點.

例2（2019·江西·撫州） 如圖5，[P]是矩形[ABCD]內的一點，[△PAB]的面積是19，[△PCD]的面積是91，則矩形[ABCD]的面積是 .

解析：由前面結論知[S矩形ABCD=2×（S△PAB+S△PCD）=2×（19+91）=220]. 故應填220.

例3 （2019·遼寧·錦州）如圖6，一個矩形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占矩形面積的15%，黃色三角形的面積是21 cm2，問：矩形的面積是多少？

解析：設矩形[ABCD]的面積為[S]，則[S△OAD+S△OBC=12S矩形ABCD]，

∴[21+15100S=12S]，[∴S=60（cm2）].

例4（2019·山東·德州） 如圖7，在平行四邊形[ABCD]中，對角線[AC，BD]交于點[O]，在[BC]上取一點[E]，使[EC=14BC，DE]交[AC]于[F]，則[AO∶OF∶FC ]= .

解析：連接[BF]，作DG⊥BC，垂足為G，如圖8，設[S?ABCD=a]，DG = h，

則[S△AOB=14S?ABCD=14a，S△DEC=12CE·h=12 × 14（BC·h）=18a]，

令[S△FEC=x]，[S△DOF=S△BOF=y]，則[S△BFE=3x]，

[∴]由前面結論知[S△FAB+S△DCF=12S?ABCD]，

即[a4+y+a8-x=a2，∴y-x=18a].

又由前面結論知[S△FBC+S△FAD=12S?ABCD]，

即 [4x+y+14a=12a]， [∴4x+y=14a]，[∴x=140a]，[y=320a]，

[∴S△DFC=S△DEC-x=18a- 140a =110a].

[∴AO∶OF∶FC] = [S△AOD ： S△DOF ： S△DFC][ =14a ： 320a ： 110a=5 ： 3 ： 2.]故應填[5 ： 3 ： 2].

（作者單位：南京林業大學）