用因式分解探解新定義

婁成勇 左效平

近年來以“數(shù)”為核心的新定義題型不斷涌現(xiàn)，而因式分解是這類創(chuàng)新題型有效而有力的解題工具.下面舉三例進行分析，供同學們學習時借鑒.

一、 探解“和諧數(shù)”

例1 若一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)自然數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”. 如：1 = [12-02]，7 = [42-32]，因此1和7都是“和諧數(shù)”.

（1）判斷11是否為“和諧數(shù)”，并說明理由.

（2）下面是某個同學演算后發(fā)現(xiàn)的兩個命題，請選擇其中一個命題，判斷真假，并說明理由.

命題1：數(shù)2n - 1（n為正整數(shù)）是“和諧數(shù)”.

命題2：“和諧數(shù)”一定是奇數(shù).

解析：（1）11是和諧數(shù).

理由如下：因為11 = [62-52]，符合“和諧數(shù)”的定義，所以11是“和諧數(shù)”;

（2）命題1：數(shù)2n - 1（n為正整數(shù)）是“和諧數(shù)”是真命題.

理由如下：設兩個連續(xù)的自然數(shù)為n，n - 1，n是正整數(shù)，則[n2-（n-1）2] = （n + n - 1）（n + 1 - n） = 2n - 1，所以2n - 1是和諧數(shù)，所以命題1是真命題.

命題2：“和諧數(shù)”一定是奇數(shù)是真命題.

理由如下：設兩個連續(xù)的自然數(shù)為n，n + 1，則（[n+1]）2 - [n2] = （n + 1 + n）（n + 1 - n） = 2n + 1，因為n是正整數(shù)，所以2n + 1是奇數(shù)，所以命題2是真命題.

二、 探解“軸對稱數(shù)”

例2 我們生活在一個充滿軸對稱的世界中，從自然景觀到分子結構，從建筑物到藝術作品，甚至日常生活用品，都可以找到軸對稱的影子. 我們把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整數(shù)叫“軸對稱數(shù)”，例如：33，151，2442，56765，…

（1）寫出一個最小的四位“軸對稱數(shù)”： .

（2）設任意一個n（n ≥ 3）位的“軸對稱數(shù)”為ABA，其中首位和末位數(shù)字為A，去掉首尾數(shù)字后的（n - 2）位數(shù)表示為B，求證：該“軸對稱數(shù)”與它個位數(shù)字的11倍的差能被10整除. 為了讓同學們更好地解答本題，現(xiàn)給出了一些提示，如下頁圖所示.

①請根據(jù)上面的提示，填空：56765 - 5 × 11 = .

②寫出（2）的證明過程.

解析：（1）由題意得：最小的四位“軸對稱數(shù)”為1001;

（2）①56765 - 5 × 11 = 5 × 10000 + 676 × 10 + 5 - 5 × 11 = 56710;

②證明：ABA - 11A = A × [10n-1] + B × 10 + A - 11A

= 10A × [10n-2] + B × 10 - 10A

= 10[A × （[10n-2] - 1） + B]，

因為A，B為整數(shù)，n ≥ 3，所以[A × （[10n-2] - 1） + B]是正整數(shù)，所以原式能被10整除.

三、 探解“智慧對稱數(shù)”

例3 一個形如abcde的五位自然數(shù)（其中a表示該數(shù)的萬位上的數(shù)字，b表示該數(shù)的千位上的數(shù)字，c表示該數(shù)的百位上的數(shù)字，d表示該數(shù)的十位上的數(shù)字，e表示該數(shù)的個位上的數(shù)字，且[a≠0，b≠0]），若有[a=e，b=d]且[c=a+b]，則把該自然數(shù)叫作“對稱數(shù)”，例如在自然數(shù)12321中，3 = 2 + 1，則12321是一個“對稱數(shù)”. 同時規(guī)定：若該“對稱數(shù)”的前兩位數(shù)與后兩位數(shù)的平方差是693的奇數(shù)倍，則稱該“對稱數(shù)”為“智慧對稱數(shù)”.如在“對稱數(shù)”43734中，[432-342=693]，則43734是一個“智慧對稱數(shù)”.

（1）將一個“對稱數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將千位上與萬位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個“對稱數(shù)”為一組“相關對稱數(shù)”. 例如：12321與21312為一組“相關對稱數(shù)”，求證：任意的一組“相關對稱數(shù)”之和是最小“對稱數(shù)”的倍數(shù);

（2）求出所有的“智慧對稱數(shù)”中的最大“智慧對稱數(shù)”.

解析：（1）因為“對稱數(shù)”：abcde，“相關對稱數(shù)”：[baced]，

所以abcde + [baced] = （10000a + 1000b + 100c + 10d + e） + （10000b + 1000a + 100c + 10e + d）

= 11000a + 11000b + 200c + 11e + 11d，

因為c = a + b，所以200c = 200a + 200b，

因為a = e，b = d，所以abcde + bacde = 11211a + 11211b，

所以最小“對稱數(shù)”是11211，所以（abcde + baced） ÷ 11211 = a + b，

因為a，b都是正整數(shù)，所以abcde + baced能被11211整除，

所以任意的一組“相關對稱數(shù)”之和是最小“對稱數(shù)”的倍數(shù);

（2）由（1）知五位“對稱數(shù)”形式為[abcba].

若此“對稱數(shù)”為“智慧對稱數(shù)”，則[（10a+b）2-（10b+a）2] = 99（[a2-b2]），且[a2-b2]被7的奇數(shù)倍整除.

因為1 ≤ a ≤ 9，1 ≤ b ≤ 9，所以 - 80 ≤ [a2-b2] ≤ 80，

所以[a2-b2]的值為 ±7，±21，±35，±49，±63，±77，

當[a2-b2] = 7時，a = 4，b = 3，c = 7;當[a2-b2] =? -7時，a = 3，b = 4，c = 7;

當[a2-b2] = 21時，a = 5，b = 2，c = 7;當[a2-b2] =? -21時，a = 2，b = 5，c = 7;

當[a2-b2] = 35時，a = 6，b = 1，c = 7;當[a2-b2] = - 35時，a = 1，b = 6，c = 7;

當[a2-b2] = 49時，不符合題意;當[a2-b2] = - 49時，不符合題意.

當[a2-b2] = 63時，a = 8，b = 1，c = 9;當[a2-b2] =? -63時，a = 1，b = 8，c = 9;

當[a2-b2] = 77時，不符合題意;當[a2-b2] =? -77時，不符合題意.

所以所有的“智慧對稱數(shù)”為：43734，34743，52725，25752，61716，16761，81918，18981.

所以最大的“智慧對稱數(shù)”為81918.