老題新唱 一題多變

苗寶財 左效平

基本模型：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且∠AEF = 90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG.求證：EG = CF. （提示：可證△AGE ≌△ECF）

變式1：變靜態為動態，探究結論的不變性.

例1 四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF = 90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題.

（1）探究1：小強看到圖2后，很快發現AE = EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點G，連接EG （如圖2），嘗試著完成了證明，請你寫出小強的證明過程.

（2）探究2：小強繼續探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其他條件不變，發現AE = EF仍然成立，請你證明這一結論.

（3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其他條件仍不變，那么結論AE = EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由.

解析： （1）提示：取AB的中點G，連接EG，可證△AGE ≌△ECF.

（2）提示：在AB上取一點G，使BG = BE，可證△AGE ≌△ECF.

（3）當點E在BC上運動時，解題關鍵是在BA上截取BG = BE;當點E在BC的延長線上時，解題關鍵是在BA的延長線上截取BG = BE.

如圖3，延長BA到點G，使AG = CE，則BG = BE.

構造以BG為邊的正方形BGHE，連接GE，則∠AGE = ∠ECF = 45°.

因為∠FEM + ∠AEB? = 90°，∠BAE + ∠AEB? = 90°，

所以∠FEM = ∠BAE，所以∠CEF = ∠GAE，

所以△AGE ≌ △ECF，所以AE = EF.

變式2：深入新思考，引申探究新問題.

例2 如圖4，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF = 90°，EF交正方形外角的平分線CF于點F，且FG⊥BM，FH⊥CD，垂足分別為G，H.

（1）求證：四邊形CGFH是正方形;

（2）求證：△AEF是等腰直角三角形.

（3）設正方形ABCD的面積為[S1]，正方形CGFH的面積為[S2]，△AEF的面積為S，試確定[S1]，[S2]，[S]之間的關系.

解析： （1）略; （2）略;

（3）根據題意得S = [12AE2]，[S1] = [AB2]，[S2] = [CG2]，

在Rt△ABE中，[AE2=AB2+BE2]，

易證BE = CG，所以[AE2=AB2+CG2]，所以S = [S1+S22].

變式3：變化條件，引申探究猜想型問題.

例3 如圖5，在正方形ABCD中，E是邊AB上一動點 （不與A，B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過E作EH⊥DE，交DG的延長線于點H，連接BH.

（1）求證：GF = GC; （2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明.

解析： （1）證明：連接DF，由點A關于直線DE的對稱點為F，得DA = DF，∠A = ∠DFE = 90°，根據正方形的性質，得DF = DA = DC，∠DFG = ∠C = 90°，DG = DG，所以△DGF ≌△DGC，所以GF = GC;

（2）BH與AE的數量關系為BH = [2]AE. 理由如下：

過點H作HM⊥AB，交AB的延長線于點M，

根據 （1）得 ∠ADE = ∠FDE，∠CDG = ∠FDG，所以∠EDG = 45°，

因為EH⊥DE，所以∠EHD = 45°，所以ED = EH，

因為∠HEM + ∠AED = 90°，∠ADE + ∠AED = 90°，

所以∠ADE = ∠HEM，

因為∠A = ∠M = 90°，所以△ADE ≌ △MEH，

所以AE = HM，AD = EM，所以AB = EM，所以AE = BM，

在Rt△BHM中，根據勾股定理得BH = [BM2+MH2=AE2+AE2] = [2]AE.

例4（2019·山東·泰安）如圖6，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點E在AB上，且∠CEF = 90°，FG⊥AD，垂足為點G. （1）試判斷AG與FG是否相等，并給出證明. （2）若點H為CF的中點，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明;若不垂直，說明理由.

解析： （1）AG = FG.

理由：過點F作FM⊥EA，交EA的延長線于點M，

因為△EFC是等腰直角三角形，所以EF = EC. ∠CEF = 90°，

所以∠MEF + ∠BEC? = 90°，

因為∠MEF + ∠MFE = 90°，所以∠MFE? = ∠BEC，

所以Rt△MEF ≌ Rt△BCE，所以MF = BE，ME = BC.

因為四邊形ABCD是正方形，所以AB = BC，

所以ME = AB，所以AM = EB，所以AM = FM.

因為∠MAG =? ∠AGF = ∠AMF = 90°，所以四邊形AGFM是正方形，所以AG = FG.

（2）GH⊥DH. 理由：延長GH交DC于點N，由DC[?]FG，FH = CH，易證△FGH ≌ △CNH.

所以FG = AG = CN，GH = NH，所以AD - AG = DC - CN，即DG = DN，

根據等腰三角形“三線合一”，得GH⊥DH.