矩形對角線相等性質(zhì)的應(yīng)用

劉家良

矩形是一種特殊的平行四邊形，對角線互相平分且相等，因此四個(gè)頂點(diǎn)到對角線交點(diǎn)的距離相等，也就是說矩形的兩條對角線將矩形分成以四條邊分別為底邊的四個(gè)等腰三角形.

一、矩形的對角線相等

例1（2019·貴州·安順）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA = 3，AC = 4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為 .

分析：由“三個(gè)角都為直角的四邊形為矩形”可得四邊形AMDN為矩形，MN是一條對角線，欲求線段MN的最小值，需根據(jù)矩形對角線相等的性質(zhì)，將線段MN的最小值轉(zhuǎn)化為AD的最小值.依據(jù)“垂線段最短的性質(zhì)”可知AD的最小值就是斜邊BC上的高.

解：連接AD，如圖2.

∵∠BAC = 90°，BA = 3，AC = 4，

∴BC[ = ][BA2+AC2] = 5.

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA = ∠DNA = ∠BAC = 90°，

∴四邊形DMAN是矩形，∴MN = AD.

當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小.

過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)G，

根據(jù)三角形面積的不變性，得[12]AB × AC[ =][ 12]BC × AG.

∴AG[ =][ AB?ACBC] = [125]，∴MN的最小值為[125] .

故應(yīng)填[125].

二、矩形的對角線分矩形為四個(gè)以四條邊為底邊的等腰三角形

例2（2019·黑龍江·哈爾濱）已知：在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F.（1）如圖3①，求證：AE = CF;（2）如圖3②，當(dāng)∠ADB = 30°時(shí)，連接AF，CE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖3②中四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的[18].

[A][C][D][B][E][F] [A][C][D][B][E][F][①][②][圖3]

分析：（1）欲證AE = CF，需證AE和CF分別所在的三角形全等;

（2）求解面積比的問題通常轉(zhuǎn)化為同高不同底的三角形面積比的問題.易證四邊形AECF為平行四邊形，連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC與EF將其分成四個(gè)面積相等的三角形. 矩形對角線將矩形分為以四邊為底邊的四個(gè)等腰三角形，加之∠ABD = 60°，可得△ABO和△CDO為等邊三角形且全等，再利用等腰三角形的“三線合一”可得邊之間的數(shù)量關(guān)系.

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB = CD，AB[?]CD，∴∠ABE=∠CDF.

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB = ∠CFD = 90°，

∴△ABE ≌△CDF（AAS），∴AE = CF.

（2）[S△ABE] = [S△CDF]= [S△ADF] = [S△BCE] = [18][S矩形ABCD].

理由：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖4.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD = ∠ADC = 90°，AO = CO = [12]AC，BO = DO =[ 12]BD，AC = BD，

∴AO = BO，CO = DO.

∵∠ADB = 30°，∠BAD = ∠ADC = 90°，

∴∠ABO = ∠CDO = 60°，

∴△ABO和△CDO為等邊三角形.

∵AE⊥BO，CF⊥DO，∴BE = EO = [12]BO，DF = OF= [12]DO，

∴BE = EO = OF = DF，

∴[S△ABE] =[ S△AEO] =[ S△AOF] =[ S△ADF] = [14S△ABD]，[S△BCE] = [S△CEO] = [S△COF] = [S△CDF] = [14S△CBD].

∵在△ABD和△CDB中，AB = CD，∠BAD = ∠DCB，AD = CB，

∴△ABD ≌△CDB（SAS），∴[S△ABD] = [S△CBD] = [12][S矩形ABCD].

∴[14][S△ABD] =[ 14][S△CBD] = [18][S矩形ABCD].

∴[S△ABE] = [S△CDF] = [S△ADF] = [S△BCE] = [18][S矩形ABCD].