二次根式易錯點剖析

劉興龍

一、忽視對字母的分類討論，導致出錯

例1（2019·陜西·寶雞）化簡[2a-a23a].

解：[2a-a23a] [=2a-a3a].當[a>0]時，原式[=13];當[a<0]時，原式[=-1].

易錯點：不討論[a]的正、負性，未對字母[a]進行分類求解.

例2（2019·貴州·遵義）化簡[5xy5xy+x5y+5yx-y5x].

解：當[x>0，y>0]時，原式 = [5xy+x+5y-y=5xy+x+4y];

當[x<0，y<0]時，原式 = [5xy-x-5y-（-y）=5xy-x-4y].

易錯點：把所有字母都當作正數，未分類討論求解.

例3（2019·安徽·蕪湖）化簡[（a2-b2）（a4-b4）][（a>b）].

解：原式 = [（a2-b2）（a2-b2）（a2+b2）=a2-b2a2+b2].

= [（a2-b2）a2+b2，（當a > b時），0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （當a=b時），（b2-a2）a2+b2，（當a < b時）.]

易錯點：雖然題中給出了[a>b]，但[a2]與[b2]的大小還沒有確定，故需進行分類討論.

例4（2019·湖南·衡陽） 化簡[a2-4a+4-a2+4a+4].

解：原式 = [（a-2）2-（a+2）2=a-2-a+2].

當[a≤-2]時，原式 = [2-a+a+2=4];

當[-2<a<2]時，原式 = [ 2-a-（a+2）=-2a];

當[a≥2]時，原式 = [a-2-（a+2）=-4].

易錯點：[（a-2）2與（a+2）2]都有意義，由于未明確[a]的取值范圍，故化簡時應先找零點. 此題有兩個零點[-2]和2，故應分[a≤-2]，[-2<a<2]，[a≥2]三個區間討論.

二、忽視特殊情況，導致出錯

例5（2019·福建·泉州）化簡[x-yx+y].

解法1：原式 = [（x）2-（y）2x+y=（x+y）（x-y）x+y=x-y].

解法2：當[x≠y]時，原式 = [（x-y）（x-y）（x+y）（x-y）=x-y].

當[x=y]時，原式 = 0.

易錯點：分母有理化的實質是利用分式的基本性質[ab=acbc]，應用時應注意[c≠0]，如果原式的分子和分母同乘以[x-y]，其結果雖然正確，但[x-y]為0時，該式是無意義的.

三、忽視運算法則，導致出錯

例6（2019·河南·商丘）計算[3÷（6+5）·16+5].

解：原式[=36+5·16+5=3（6-5）2=3（11-230）=113-610].

易錯點：乘、除是同級運算，應按從左到右的順序進行，而不能先算后面的乘法.

例7（2019·云南·楚雄）計算[6÷（3-2）].

解：原式[=63-2 = 6（3+2）（3-2）（3+2） =18+12=32+23].

易錯點：乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律.

例8（2019·河北·邢臺）能使等式[xx-2=xx-2]成立的[x]的取值范圍是（ ）.

A. [x≠2]? B. [x≥0]? C. [x>2]? D. [x≥2]

解：由題意得[x≥0 ，x-2>0，]所以[x>2]. 故選C.

易錯點：使[a]有意義，則[a≥0]，但[ab=ab]中[b]在分母上，還必須注意分母不為零.

例9（2019·四川·樂山）已知[α+β=-53 ]，[αβ=13]，求代數式[βα+αβ]的值.

解：因為α + β = -[ 53]，αβ = [13]，所以α < 0，β < 0，

原式=[αβα2+αββ2=1α+1βαβ= -1α-1βαβ=-α+βαβαβ=533].

易錯點：使[ab=ab]成立的條件是[a≥0]，[b>0].

例10（2019·江蘇·蘇州）化簡[（a-1）-1a-1].

解：原式 =[ -（1-a）-1a-1=- -（1-a）2a-1=-1-a].

易錯點：根據被開方數的非負性可知[a-1<0]，因此[a-1]不能直接移到根號內.

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）