例談導數在一點的問題

畢迎鑫 楊應明 陳華平

摘要：函數的導數概念是高等數學課程中的核心概念。關于函數在某一點的求導問題是微積分教學的重點也是難點，也是全國碩士研究生入學考試中的重點內容，為此對導數在一點的問題通過一些例子來進行探討。

關鍵詞：高等數學;流數術;導數;極限

導數是極限的發展，導數思想正是利用函數在點處臨近的變化狀態去揭示和把握函數在點處的變化狀態，從而深刻揭示了函數的變化率本質。導數概念是微積分學中重要而基本的定義，也是高等數學的核心概念之一，如果能夠牢固地理解和掌握導數的定義，會對以后微積分的學習打下扎實的基礎。

1.早期導數的概念---“流數術”[1]

大約在1629年，法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法，1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構造了差分，發現的因子E就是我們現在所說的導數。

17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，在前人創造性研究的基礎上大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數術”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數相當于我們今天所說的導數。牛頓的有關“流數術”的實質概括為：在于一個變量的函數而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數的變化的比的構成，而最終在于決定這個比當變化量趨于零時的極限。

1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關于導數的一種觀點，可以用現代符號簡單表示：。1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數：如果函數在變量x的兩個給定的界限之間保持連續，并且我們為這樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以后，魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言，對微積分中出現的各種類型的極限重加表達，導數的定義也就獲得了今天常見的形式。

2.函數在某一點處的導數概念[2]

設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處有增量時相應地函數取得增量，如果之比當→0 時極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限值為函數 y=f（x）在點處的導數或微商，記為 ，即也可以記作.函數在點處的導數是函數的增量與自變量增量之比的極限，也可以寫成或.它是在處的函數值，是一個常數，而不是變數。如果以上式中的極限不存在，則稱函數在點處不可導。

3.利用導數的定義求導三步走

第一步，求函數的增量;

第二步，求平均變化率;

第三步，取極限得導數

例1.求函數在處的導數

解：求函數的增量：;

求平均變化率：

取極限得導數：

4.函數在點處可導的條件[3]

理解函數在一點處的導數定義的關鍵是它包含兩層含義即可導條件和導數概念，即存在是函數y=f（x）在處可導的條件。函數在點處的可導應滿足三個條件：（1）在點處及其附近有意義;（2）左極及右極限都存在;（3）.因此可以說函數在處可導的充分必要條件是左導數和右導數都存在且相等。

5.導數在一點常見的幾種問題

函數在某一點可導是在某一點連續的充分的條件;函數在某一點連續是函數在某一點可導的必要條件，但不是充分條件，也就是函數某一點連續不能推出它在該點可導，但函數某一點不連續可推出它在該點一定不可導。對于分段函數在分段點的導數，必須要用函數在一點的導數定義來求以及函數在某一點可導與在該點處的曲線切線的關系。

5.1函數在點的導數與的關系

當存在時，一定存在;反之，當不存在時，卻不一定不存在。

如例2對于函數，有顯然不存在，但是由導數的定義可知：

=

存在。因此，當不存在時，不一定不存在，即可能有。

5.2函數在點處可導，是否在點的某一鄰域內每一點可導函數在點處可導是個局部概念，但在點的鄰域內不一定處處可導。

如例4，由導數定義可知，而函數在任意都不連續，從而不可導。由此可知，一個函數可能僅僅在一點可導。

又如例5如果為偶函數，且存在，證明：

分析：由偶函數定義知：，該式是關于的恒等式，恒等式兩邊可以關于求導：這個式中不能令代入推出，而是因為已知條件中僅僅知道在點可導，但在的某個小鄰域內函數是否可導并不知道，所以不能用對恒等式求導的方法來證明，而只能用導數的定義來證明。

證明：由導數的定義可知：，

=

因為在點可導，有

故即有

5.4討論分段函數在分斷點處的可導性，要用導數定義

根據函數在點處導數存在的充要條件是來判斷。

判斷分段函數在分段點處導數是否存在，一般步驟如下：

（1）考察是否存在;是否存在。

（2）當且僅當存在并且相等時在處可導，否則在處不可導。

例6（2019，考研題）已知函數求

解：當時，=

當時，

由于，則不存在。

5.5用定義來求函數在某點處的導數

如果已知的函數是個多項式或是一個比較復雜的函數來求它在某一點的導數式，可以使用導數的定義求，簡化運算的步驟。

如例7（2012，考研題）設函數

其中為正整數，求

分析：本題中是關于的次多項式函數，可以展開后用導數公式求出導函數，再代入，但非常麻煩，應用導數得定義可以簡潔地求出結果。

解：注意到，根據導數的定義有

=

=

例8

分析：用導數公式求出導函數，再代入，計算量有點大，但用導數的定義來求就比較簡單。

解：設，

則，

且

=

所以

5.6用函數在點處可導，來求與在點導數的定義有關的極限

如果一個函數在一點可導，那么這個函數在這一點的極限值就存在，利用這個結論來求函數在某點的極限，這是求極限的另一種方法。

例9（2011，考研題）已知在處可導，且=0，求

分析：由在處可導且=0，可知

解：把所求的極限先拆項再用導數定義來求

在處可導且=0，可知

所以

例10已知求[6]

解：由，可知

所以=

=

5.7與在點導數定義有關的極限存在，函數在點處是否可導函數在某一點的極限存在，不一定在這一點可導。

如例11（2007，考研題）設函數在處連續，且

（1）若存在，則是否存在？

（2）若存在，則是否存在？

解：由函數在處連續，且可知=0

（1）=

雖然存在，但不能保證一定存在，故不一定存在。如，雖然=存在，但是不存在。

（2）==而存在，所以存在。

5.8用函數在點處可導，來求參數

例12[6]已知分段函數在處可導，求a，b的值。

分析：根據可導與連續的關系，可知函數在一點可導則必連續。由導數的定義和連續的定義可以求得參數a，b的值。

解：函數在處可導則必連續，而在處的左、右極限分別為

，

所以根據函數連續性的定義，應有

再由在處可導可知，它在該點的左、右極限存在且相等，而

，

，由于

所以，即的值分別為0，

5.9利用導數在某點處的幾何意義，來求曲線在該點處的切線方程和法線方程

例13[7]求三次曲線在點（1，2）處的切線方程和法線方程。

分析：已知一點求直線方程，根據直線的點斜式方程，需要知道直線的斜率。由導數的幾何意義可以求得切線的斜率。

解：由導數的幾何意義可知，切線的斜率為函數在該點的導數值，即

，即曲線在點（1，2）處的切線斜率為3.由直線的點斜式方程，得到切線方程為，即;

又曲線在點（1，2）處的法線斜率為，所以，法線方程為

，即

綜上所述：高等數學中函數導數的由來可是很深遠的，它有兩大背景，一是幾何背景，二是物理背景。幾何背景是過曲線上一點作該點的切線，要作該點的切線就必須要確定該點處的斜率，怎樣才能把該點的斜率清楚的描述出來呢？就用到了極限，進而得到該點的斜率，引申為函數導數。物理背景就是研究物理運動的速度，研究方法與切線斜率是一樣的。在自然科學和工程技術中，還有許多問題的解決，如電流、角速度、線密度等等，都歸結為求函數的增量與自變量增量之比的極限，如果拋開這些量的具體意義，抓住它們在數量關系上的實質，就可以引出導數的概念，并要理解并牢固的掌握導數的定義，明確導數就是函數的變化率，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，并能靈活應用導數定義的變形，盡管增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，必須選擇相對應的形式。掌握函數在某一點可導必連續，且函數連續是函數可導的必要條件，但不是充分條件，還有它的逆否命題，為以后學習微分中值定理、泰勒公式、定積分中值定理、還有級數打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]莫里斯.克萊因著，張里京、張錦炎、江澤涵譯.《古今數學思想》第四卷.上海科學技術出版社.2002.

[2]同濟大學數學系編.“十二五”普通高等教育本科國家級規劃教材：高等數學（上冊）（第七版）.高等教育出版社.2017：73.

[3]同濟大學數學系編.“十二五”普通高等教育本科國家級規劃教材：高等數學（上冊）（第七版）.高等教育出版社.2017：80.

[4]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規劃教材：高等數學（上冊）（第3版）.北京郵電大學出版社.2017：98.

[5]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規劃教材：高等數學（上冊）（第3版）.北京郵電大學出版社.2017：70.

[6]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規劃教材：高等數學（上冊）（第3版）.北京郵電大學出版社.2017：69-70.

[7]張卓奎，王金金主編.普通高等教育“十三五”規劃教材：高等數學（上冊）（第3版）.北京郵電大學出版社.2017：67.

基金項目：貴州省數學與應用數學專業卓越教師人才培養計劃（編號：GZSZY10977201401）;貴州省高等學校教學質量與教學改革項目（編號：GZSJG10977201603）;六盤水師范學院第六批重點學科項目（LPSSYZDPYXK201709）。

作者簡介：畢迎鑫（1968-），女，山東曲阜人，數學與信息工程學院副教授，主要從事高等數學方面的研究。