重視和做好數學推理的教學

【摘 ?要】看過《福爾摩斯探案集》的人，無不為其超強的推理能力所折服，也讓人們深刻認識到推理的意義和價值。事實上，推理是人的一種思維方式，除了在數學中有著不可替代的作用外，還在物理、化學、生物、醫學、政治、經濟、軍事、歷史等各個領域有著廣泛應用。

【關鍵詞】重視;做好;數學;推理;教學

幾何論證題，更注重演繹推理，但是立體幾何的學習，還應重視合情推理，尤其是其中的類比。合情推理是培養學生創新能力的基礎。數學教學中對學生進行合情推理能力的培養，對于老師，能提高課堂效率，增加課堂教學的趣味性，優化教學條件、提升教學水平和業務水平;對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題，而且能使學生掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法。著名數學家喬治·波利亞注意到：數學有兩個側面，用歐幾里得方式提出的數學是演繹科學，但在創造過程中的卻是實驗性的歸納科學。因此，數學實際上并不是純形式上的公理、定理、定義、公式和嚴格的證明，還應包括歸納、類比等非形式的思維過程。縱然如此，在實際教學過程中，并沒有多少老師會注意到或愿意注意到合情推理的重要性，為了趕時間、出成績，教學中，往往只注意更容易反應在試題中的演繹推理的講解，這在應試教育下本也無可厚非。

我們更應看到：

（1）科學思維既有邏輯性又有形象性，形象思維最直接的層面是合情推理，我們歷來強調邏輯思維而忽視合情推理培養，讓人很容易聯想到中過學生科學測驗成績較差的事實，加強和情推理能力的培養刻不容緩。培養符合現代社會發展和建設的現代人。喬治·波利亞還指出“我們所學到的關于世界任何新的東西都包含著合情推理，它是我們日常生活所關心的僅有的一種推理。”

（2）在教學中，合情推理的學習有助于提高演繹推理能力。以立體幾何為例，命題;平面外一條直線和平面內一條直線平行，則直線和平面平行（線面平行判定定理），顯然是真命題，垂直關系中，初學者便很容易得到;平面外直線線垂直于平面內一條直線，則直線垂直于平面。第二個命題的產生，是應用類比推理的結果，雖然得到假命題，但是同時為正確的認識線面垂直的定義和判定，打下了基礎，可以說正是因為錯過，才對正確的印象更深刻。再比如，數列中會遇到求通項或遞推公式的問題，給出一個具體數列，通項的得到，往往是觀察，歸納，猜想的結果，可以說如果不具備較高的合情推理能力，想得到相關結論很難。

在數學學習中，既要強調思維的嚴密性，結果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發現性，即應重視數學合情推理能力的培養。

（1）在“立體幾何”中培養合情推理能力。在“立體幾何”的教學中.既要重視演繹推理.又要重視合情推理。新課程標準關于《立體幾何》的教學中指出：“降低空間與圖形的知識內在要求，力求遵循學生的心理發展和學習規律，著眼于直觀感知與操作確認，多從學生熟悉的實際出發，讓學生動手做一做，試一試，想一想，認別圖形的主要特征與圖形變換的基本性質，學會識別不同圖形;同時又輔以適當的教學說明，培養學生一定的合情的推理能力。”并為學生“利用直觀進行思考”提供了較多的機會。學生在實際的操作過程中.要不斷地觀察、比較、分析、推理，才能得到正確的答案。如：在圓的教學中，結合圓的軸對稱性，發現垂徑定理及其推論;利用圓的旋轉對稱性，發現圓中弧、弦、圓心角之間的關系;通過觀察、度量，發現圓心角與圓周角之間的數量關系;利用直觀操作，發現點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關系;等等。在學生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質后，還要求學生對發現的性質進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機地整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，這個過程中就發展了學生的合情推理能力.注意突出圖形性質的探索過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結合，通過多種手段，如觀察度量、實驗操作、圖形變換、邏輯推理等來探索圖形的性質。同時也有助于學生空間觀念的形成，合情推理的方法為學生的探索提供努力的方向。

（2）數學推理能力的培養是一個漸進的過程。數學是邏輯性非常嚴密的學科，而正是數學推理才使得數學邏輯性如此嚴密。這并不需要花很多的力氣來教學，事實上也不應該這樣教學。數學只要教學事物怎樣合乎邏輯，怎樣理解它的本質就可以了。當然也有些很有意義的例外。這些公理應作為對我們經驗的概括或憑直覺就能接受的一般規則來教學，并且當我們處在不那么熟悉的領域時，能作為我們可依靠的不變的原理。并不是一切事物都得從

頭就弄得明明白白;有時候某個重要的特性或事實要學會先了解它，運用好它，以后再把它弄清楚。在這種情況下，應該指出，這種特性或事實要弄清楚，并最好是在以后再次碰上的時候弄清楚。如果在小學就能做到通過反復教學而弄懂大部分東西（靠老師或同學的幫

助或通過課本），那么初中就能擴大你的學習視野，譬如，從數字算術上升到多項式算術。因此數學推理能力的培養是一個漸進的過程。

（3）數學推理能力的培養要重視命題的推導過程。同樣，數學應教一些重要的代數公式的推導過程，還應指出代數公式和命題的證明推理的證據，而且，還應在“局部證明”的意義上多練習證明。所謂“局部證明”就是說給出一些需要在邏輯基礎上證明的命題，以及一些可以想當然的更為簡單的條件。自始至終

都應培養把具體問題化為數學而在經過數學加工以后又轉化回去的數學推理能力。數學加工和轉化步驟的復雜程度應隨著學生年齡的增長而增加。

（4）在教學中重視培養數學推理能力。如果在小學和初中就能很好地處理數學推理的問題，那么到高中時，學生就能看懂相當有條理的證明了。形式邏輯的問題，如演繹推理，反面和正面論證，換質位法，逆反函數等，都應受到重視。同樣也應討論語言表述的必要性：要詳細說明假設和結論，要弄清楚“充分條件”和“充要條件”的區別，要明確解釋而不是只憑“直覺”。還要明確解釋推理從何處開始以及其起點由公理限定的這個原則。表述顯而易見的事實并在此基礎上得出不明顯的事實，其價值應在具有數學意義的例子中得到體現。

作者簡介：劉榮國（1982.07），男，漢族，山東東營人，大學本科，講師，研究方向為中職數學。