導函數的零點不可求怎么辦？

◎張運能

在導數大題的求解或證明中，很多時候需要求解函數或者導函數的零點，學生對于處理函數零點可求時可能較為熟練，但在面對函數的零點不可求或零點不存在情形等問題時，就手足無措，無從下手了。我們是否就是"束手無策"呢？顯然不是！對于這一類問題的求解，可從以下三方面入手解決。

一、猜根：通過觀察方程的結構特征，猜出方程f′（x）＝0 的根

對于有關x 與ln x 的組合函數為背景的試題，要求學生理解導數公式和導數的運算法則等基礎知識，準確的求出函數的導數，當所求的導函數解析式中出現lnx時，常猜x＝1；當函數解析式中出現ex時，常猜x＝0，然后代入未知數x 的值進行檢驗，看看滿足方程f′（x）＝0 嗎？

（1）若函數f（x）在（a，a＋1）上有極值，求實數a 的取值范圍；

（2）若關于x 的方程f（x）＝x2－2x＋k有實數解，求實數k 的取值范圍．

（2）由已知可得，方程f（x）＝x2－2x＋k 有實數根，

即f（x）－x2＋2x＝k 有實數根．

設g（x）＝f（x）－x2＋2x，

接下來，需求函數g（x）的單調區間，所以需解不等式g′（x）≥0 及g′（x）≤0，因而需解方程g′（x）＝0。但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解．

因為g′（1）＝0，且當0＜x＜1 時，g′（x）＞0，當x＞1 時，g′（x）＜0，所以函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減

所以g（x）max＝g（1）＝3/2。當x→0時，g（x）→－∞；當x→＋∞時，g（x）→－∞，所以函數g（x）的值域是（－∞，3/2），所以所求實數k 的取值范圍是（－∞，3/2）。

對于這種猜想方程的根的方法，有時可以減少很多解方程的運算過程，從而提高解題速度，但學生往往不太敢用或者不習慣用，在教學中需要老師主動引導，積極培養。

二、設根：通過運算代換、數值估計，虛設f′（x）＝0 的根

有這么一類試題，導函數的零點無法求解，但我們能判斷零點是存在的，我們可以把這一類問題形象地稱作“隱零點問題”。這個零點就是我們所說的“隱零點”，它是客觀存在的，但是又不那么好找，對于這一類問題的求解，往往可以采用“虛設零點、整體代換”的方法，雖然不能求解導函數的零點，但我們可以假設零點是x0，這種方法稱為“虛設零點法”，于是就有f′（x0）＝0。而在進一步的問題求解中，我們經常會遇見一些較為復雜的函數式，例如指數式與對數式、冪函數式等的混合，這時我們可以利用f′（x0）＝0 來代換，將超越式（指數式、對數式等）替換成簡單易于求解的函數式，進而求解相關問題。

例題2．已知函數f（x）＝aex－bln x，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）>0。

解：（1）函數f（x）的定義域為（0，＋∞）．

所以f′（x）＝0 在（0，＋∞）上有唯一實根x0，且x0∈（1，2）．

當x∈（0，x0）時，f′（x）<0，當x∈（x0，＋∞）時，f′（x）>0，

從而當x＝x0時，f（x）取極小值，也是最小值．

則x0－2＝－ln x0

所以f（x）>0。

諸如此類的例題有很多，同學們要學會應用。“虛設零點法”常用到的解題技巧主要可以歸納為以下幾點：（1）整體代換，將超越式轉化為普通式。利用這類技巧，可以通過逐步分析零點所在區間以及滿足的關系討論函數的單調性，最后利用零點所滿足的恒等關系整體代入，將函數關系轉化為普通式。（2）反代消參，構造關于零點的單一函數。如果問題要求解的結論與參數無關，這時一般不要用參數來表示零點，而是反過來用零點表示參數，然后把極值函數變成關于零點的單一函數再進行求解。（3）降次留參，建立含參數的方程或不等式。如果問題要求解的結論與參數有關，可利用導數為零的方程，在保留參數的情況下，不斷把零點的次數降到不可降為止，再結合其他條件，建立含參數的方程或不等式，就可求出參數的值或者取值范圍。

三、證無根：通過討論函數的單調性，證明方程f′（x）＝0 無根

有些函數的一階導數f′（x）是無零點的，即f′（x）＝0 無解，當利用導函數求函數f（x）在區間[a，b]，[a，b）或（a，b]上的最值時，可首先考慮函數f（x）在該區間上是否具有單調性，若具有單調性，則f（x）在區間的端點處取得最值（此時若求f′（x）＝0的根，則此方程是無解的）．

例題3.已知m∈R，函數若Ex0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數m 的取值范圍

分析：因為當x＝1 時，f（x）＝0，g（x）＝2e，不存在f（x0）＞g（x0），所以關于x 的不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即關于x的不等式

可大膽猜測方程u′（x）＝0 無解，證明如下：

所以u′（x）＜0，u（x）在（1，e]上是減函數，

求函數零點問題，是高考試卷中的熱點問題，這類問題常以基本初等函數或分段函數為載體，考查函數零點的存在區間、確定零點的個數、參數的取值范圍、方程的根或函數圖象的交點等問題。不僅考查考生計算、畫圖等方面的能力，還考查考生函數與方程、數形結合及轉化化歸等數學思想的綜合應用。在解決函數零點問題時，除了應用上面介紹的三種辦法外，既要注意利用函數的圖象，也要注意根據函數的零點存在性定理、函數的性質等進行相關的計算，把數與形緊密結合起來。所以學生在平時的訓練中要有意識的加以培養和應用。