一種單自由度柔順鉸鏈的優化設計

王 欣

（佛山職業技術學院，廣東 佛山 528137）

柔順機構是在驅動力作用下，通過自身柔性構件的彈性變形實現力和能量傳遞，并獲得部分或全部運動的一類機構[1]。相對于傳統的剛性機構，柔順機構在運動過程中沒有摩擦與磨損，體積小、質量輕、加工簡單、沒有裝配誤差等優勢。因此，在精密定位、高速刀具、微夾持操縱等領域應用廣泛[2-4]。

張建銳建立了柔順儲能J/S型機構的偽剛體模型，分析了其剛度特性[5]。馬力設計了一種3自由度運動平臺，實現了納米級的定位[6]。胡俊峰應用偽剛體模型設計了一種零剛度柔順微動平臺，該機構實現了在0.6mm～1.7mm運動范圍內輸出力幾乎無變化[7]。凌明祥通過柔性梁的動剛度矩陣與矩陣位移法相結合[8]，建立了柔順機構的偽靜態模型，這種模型可以實現靜/動力學同時建模[8]。

本文應用柔性梁的動剛度矩陣，建立了一種單自由度柔順鉸鏈的偽靜態模型，分析了其靜力學與動力學行為。通過優化柔順鉸鏈的尺寸，可以得到試用于不同工作狀態的柔順鉸鏈模型。

1 柔順鉸鏈機構理論模型的建立

柔順鉸鏈的模型如圖1所示，四根柔性梁固定在兩端，中間是一個不能忽略質量的運動平臺。通過力f使柔性梁產生變形，從而產生了位移u。結構是完全對稱的，這可以消除柔性梁變形時產生的x方向平動位移與z方向的轉動位移。

如圖2所示，在局部坐標系下柔性梁單元有j、k兩個節點，每個節點有沿著x、y方向移動和繞著z方向轉動三個方向自由度。將梁單元在局部坐標系下所受力與位移用向量的形式表示：

那么在局部坐標系下，節點力與位移的關系為：

Kjk為柔性梁在局部坐標系下的動剛度矩陣：

式中：E為材料彈性模量；I為柔性梁截面慣性矩；ρ為密度 β4=ω2Ljk2ρA/EI；α2=ω2Ljk2ρ/E；R=1-cos（β）×cosh（β）；。將d1～d8關于ω泰勒展開，那么式1將變為：

當柔順機構中有一些質量不能忽略的剛性構件時，常把其考慮成集中質量，公式6為集中質量的動剛度矩陣，其中m為剛性體質量，J為剛性體轉動慣量。

當進行靜力學分析時，令ω=0時，此時公式4中只有K0；當進行動力學分析時，應保留ω項，且保留的階數越高，結果越準確，但是計算量也將增加。在柔性梁較短或結構的固有頻率較低時，取ω的平方項就可以滿足計算精度。這也解釋了傳統的動力學模型對結構的高階頻率預測誤差較大的原因。

假設參考坐標系為O-XY、jk梁單元在參考坐標系下的受力與位移為：

將梁兩端局部坐標系下的力與位移分別轉化為相應參考坐標系中的力和位移，則式1變為：

jk梁單元在參考坐標系下的剛度矩陣為：

將式7分塊化表示：

式中：Fjkt，j與 Fjkt，k為 jk 梁施加在節點 j、k 上的力；Ujkt，j與 Ujkt，k為 jk 梁單元在 j、k 兩點的位移。對于第j個節點，其所受的合外力等于與其相連的梁施加在其上的力之和，用公式表達為：

式中：Pj為j節點所受外力向量；Utj為j節點的位移；F*jt，j與 Fj*t，j為與 j節點相連柔性梁施加在其上的力；n為與j節點相連柔性梁的個數。模型的各個梁受力方向如圖4所示，節點A、C、E、G為固定約束，位移為0，故不考慮，其他各節點都等效到節點O（參考坐標系原點）。依據公式11，列出整個模型的方程：

G為柔順鉸鏈的整體剛度矩陣。當求解結構的固有頻率時，只需要求解G的行列式，令det（G）=0，解出ω值即為機構的固有頻率。值得注意的是，本模型的柔性梁單元節點有三個自由度，分別是x與y的方向的移動以及z方向的轉動。除了這三個振動方向的頻率外，其它方向的固有頻率本模型不能求解，例如沿x軸的扭轉頻率。

2 柔順鉸鏈的優化

柔順鉸鏈的幾何尺寸如表1所示，b是整個模型在 z方向的寬度。彈性模量 E=71GPa，密度ρ=2810kg/m3，泊松比 ε=0.33。利用 SolidWorks對柔順位移放大機構幾何建模，并應用ANSYS對其進行靜力學仿真，選用Solid 186單元劃分網格，得到的結果驗證了模型的正確性。

柔順鉸鏈的輸入力與輸出位移關系如圖5所示，輸入力與輸出位移基本呈線性關系，而且隨著輸入力的增大，輸出位移也增加。與有限元仿真的結果對比誤差小于3%，說明理論模型能夠較好地預測力與位移的關系。有限元[9]的仿真結果如圖6所示。

表1 柔順鉸鏈的幾何尺寸

當輸入力f=10N，柔性梁的長度變化范圍為L=35mm～45mm，柔順鉸鏈輸出位移變化如圖7所示。由圖可知，隨著柔性梁長度的增加，柔順鉸鏈的輸出位移也增加。當柔順鉸鏈的工作狀態是需要大范圍的運動時，這種結構是有優勢的。但是由于梁長的增加會減小結構的剛度，所以結構的固有頻率會降低。

當輸入力f=10N，柔性梁的厚度變化范圍為t=0.5mm～1.5mm。柔順鉸鏈輸出位移變化如圖8所示。隨著柔性梁厚度的增加，機構的輸出位移將減小。當機構需要完成大范圍運動時，應適當減小梁的厚度；當機構需要完成高速運動時，應適當增加梁的厚度。

當輸入力f=10N，柔性梁的角度的變化范圍為φ=-π/12～π/12，柔順鉸鏈的輸出位移如圖9所示。當φ=0也就是圖1的狀態時，柔順鉸鏈的輸出位移最大；當φ增大或減小，都會導致輸出位移的迅速變化，說明柔順鉸鏈的輸出位移對柔性梁角度這一參數是敏感的。當時，機構的輸出位移基本為0。

3 結論

本文通過偽靜態模型分析了一種柔順鉸鏈的靜力與動力學行為，并用有限元驗證，其相對誤差小于3%。以柔順鉸鏈不同的工作狀態為目標，通過改變其自身的幾何尺寸得到了兩種優化后的模型，這兩種模型分別適用于大范圍運動與高速往復運動。