讀懂教材融通自來*

2020-09-03 05:28:38江蘇省濱海中學(xué)224500

中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2020年8期

(江蘇省濱海中學(xué) 224500)

章建躍博士提出數(shù)學(xué)教師應(yīng)做到“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，其中“理解數(shù)學(xué)”既是課堂教學(xué)“預(yù)設(shè)”的前提也是“生成”的關(guān)鍵．作為教師，只有清晰地知道“教什么”，理解所教內(nèi)容“是什么”，深知教學(xué)內(nèi)容及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并把數(shù)學(xué)知識背后的價值觀資源挖掘出來，以與學(xué)生智力發(fā)展水平相適應(yīng)的方式表達(dá)出來，再以恰當(dāng)?shù)姆绞絺鬟f給學(xué)生，才能有效地實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo)．而理解數(shù)學(xué)的前提是讀懂教材，因為教材是教師教、學(xué)生學(xué)的主要載體，教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提供了主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是教學(xué)研究、教學(xué)評價和各類考試命題的重要依據(jù)，同時教材是眾多專家精心編制、經(jīng)過教學(xué)實踐不斷檢驗、逐步完善與發(fā)展起來的，具有較高的學(xué)術(shù)價值．可見讀懂教材、理解課本是有效教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)融通的有效手段．

但是，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不重視教材、甚至遠(yuǎn)離教材的現(xiàn)象大有存在．一些學(xué)校過度依賴導(dǎo)學(xué)案，教師按導(dǎo)學(xué)案上的規(guī)定程序展開教學(xué)，教材被棄置一邊，連用都不用，更談不上讀懂教材了．高三復(fù)習(xí)本是重新解讀教材、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)、提升數(shù)學(xué)理解的絕佳時機(jī)，但現(xiàn)實中，高三教師使用教材者微乎其微，基本知識的復(fù)習(xí)大多以“結(jié)論式告知” “對答案式填空”的方式進(jìn)行，完全掩蓋了生動活潑的思維過程．一些教師受自身能力所限，對教材理解不到位，常止步于教學(xué)參考書的解釋，解讀教材很難做到“深入淺出”．在目前的評價機(jī)制下，數(shù)學(xué)概念、原理的教學(xué)中，“一個定義三項注意” “掐頭去尾燒中段”已成普遍現(xiàn)象，教師不注重知識生成、生長、發(fā)展的過程，關(guān)注的是對題型、講技巧、拿高分，讀懂教材、理解課本似乎已不那么重要了．有鑒于此，筆者選擇幾個視角，結(jié)合具體例子，談?wù)勅绾巫x懂教材，以實現(xiàn)理解的融會貫通，意在拋磚引玉，懇請同行們批評指正．

1 解讀數(shù)學(xué)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)內(nèi)涵是數(shù)學(xué)對象所具有的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律.把握數(shù)學(xué)內(nèi)涵是深刻理解數(shù)學(xué)概念、原理的前提，只有理解了數(shù)學(xué)概念、原理的內(nèi)涵，分析問題和解決問題才有可能，數(shù)學(xué)探究活動才能得以進(jìn)一步展開，教學(xué)設(shè)計才能精準(zhǔn)施策、立意深遠(yuǎn)，課堂教學(xué)也才能既有厚度又有高度．因此，數(shù)學(xué)教師要善于深入挖掘和剖析教材，對教材仔細(xì)揣摩、反復(fù)琢磨、刨根問底，深入解讀每一個概念、原理的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，力求獲得對教材內(nèi)容的透徹理解．只有把握得準(zhǔn)、鉆研得深，教學(xué)才能站得高、教得透，才能游刃有余、盡情發(fā)揮．這就要求教師平時要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、廣泛閱讀、多查資料，擴(kuò)充自己的知識面，力求在解讀教材時觸及精髓、透析本質(zhì)，從而避免出現(xiàn)淺嘗輒止、不求甚解的現(xiàn)象．

例如在“平面的基本性質(zhì)”一節(jié)中，教材并未具體指出平面具有哪些基本性質(zhì)，而是研究了3個公理及3個推論.這是為什么呢？要理解教材的這種安排，就需要我們把握平面基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵．通過查閱資料可知，教材中的幾個公理其實是用來定義點、線、面等幾何元素及其之間的關(guān)系的，也就是說滿足了這些公理的數(shù)學(xué)對象就叫點、直線、平面．我們知道，平面是一個原始的、不加定義的數(shù)學(xué)概念，只能對它進(jìn)行形象化的描述，平面具有平的、沒有厚薄、無限延展等特性，由上述分析可知，這些特性應(yīng)該借助公理來刻畫，而刻畫的方法是利用組成平面的元素(點和線)與其之間的關(guān)系來進(jìn)行．這樣我們就理解了教材的意圖：不直接研究平面的性質(zhì)，而是借助刻畫平面的平、沒有厚薄、無限延展等特性的公理間接地來研究，進(jìn)而通過點和面、線與面、面與面的關(guān)系來進(jìn)行刻畫.基于這樣的理解，教學(xué)設(shè)計就精準(zhǔn)對路，教學(xué)過程也就自然清晰了．

再如，教材在“數(shù)系的擴(kuò)充”一節(jié)中，平鋪直敘地介紹了數(shù)集每一次擴(kuò)充的過程，但對為什么這樣擴(kuò)充、擴(kuò)充的基本原則及虛數(shù)單位i是如何產(chǎn)生的都交代不清，這就需要教師深入研究教材，挖掘數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)涵．事實上，數(shù)系擴(kuò)充的動力來自于數(shù)學(xué)外部即社會生產(chǎn)生活的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部自身發(fā)展完善的需要，而擴(kuò)充的基本原則有三條：一是新的數(shù)集是在原有的數(shù)集中添加一些“新數(shù)”得來的；二是新添加的數(shù)可以與原來的數(shù)進(jìn)行原有的運算且原有的運算律依然成立；三是新數(shù)集可以解決某些運算在原來數(shù)集中不能實施的矛盾．基于這樣的認(rèn)識，我們可以設(shè)計下列問題串來引導(dǎo)教學(xué)過程：

問題1 從社會生活來看，數(shù)的概念是從生產(chǎn)生活實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，請你談?wù)勛匀粩?shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)是如何產(chǎn)生的？

問題2 方程x+ 1 = 0，3x- 2 = 0，x2= 2，x2+ 1 = 0分別在自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集中有解嗎？如果無解，怎么辦才能使其有解？

問題3 對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集中，任意兩個數(shù)運算所得的結(jié)果是否仍屬于這個集合？

問題4 從剛才的討論中，你能否總結(jié)一下數(shù)系擴(kuò)充應(yīng)該遵循哪些基本原則？

問題5 現(xiàn)在我們要進(jìn)行數(shù)系的再一次擴(kuò)充，就是要解決什么問題？如何解決呢？

顯然是要解決負(fù)數(shù)開偶次方的問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為負(fù)數(shù)開平方的問題，最終要解決-1開平方的問題，這樣虛數(shù)單位i的出現(xiàn)就自然而然、順理成章了．

(1) 本實驗中光照強(qiáng)度的大小是通過控制____________來實現(xiàn)的；光合作用速率是通過____________反映出來的；產(chǎn)生的氣泡中的氣體主要是____________。

2 追溯背后道理

數(shù)學(xué)因為結(jié)構(gòu)體系的和諧及研究的方便，常需引入一些人為的規(guī)定，教材中這樣的規(guī)定比比皆是．教材常常以簡約嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言陳述學(xué)習(xí)內(nèi)容，缺少數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造過程，結(jié)論性的表述掩蓋了火熱的思維過程和艱辛的探索歷程．而且教材在一些無需學(xué)生了解的地方作了刻意的回避，對這些規(guī)定、回避、表述，雖不需要學(xué)生全部掌握，考試也不考，但作為教師必須搞清楚為什么這樣而不那樣規(guī)定、這樣表述的合理性在哪兒、這個地方為什么要回避，只有這樣教學(xué)才能做到“不僅講推理，更要講道理”，所以數(shù)學(xué)教師要對這些內(nèi)容進(jìn)行追問反思、窮根究底、深度理解，搞明白背后的道理、講清楚背后的故事，從而化解學(xué)生可能出現(xiàn)的疑問，讓學(xué)生心悅誠服、豁然開朗.正如特級教師裴光亞所要求的，“在數(shù)學(xué)家不可說的地方找到說法”.

例如教學(xué)復(fù)數(shù)時，教材(蘇教版選修2-2)在3.3節(jié)例2中要求比較兩個復(fù)數(shù)模的大小，但對兩個復(fù)數(shù)能否比較大小作了回避．一次一個學(xué)生向筆者提出：2+4i>2+2i成立嗎？他認(rèn)為是成立的，理由是這兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部大的肯定也大．面對學(xué)生提出的疑問，如果僅以“兩個不全是實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小”來回答，肯定不能讓學(xué)生信服，甚至?xí)矞鐚W(xué)生寶貴的思維火花.對此筆者并不急于回答，而是反問學(xué)生“3+2i<4+2i成立嗎？”“3+2i<4-i成立嗎？”至此，學(xué)生若有所悟.此時再向?qū)W生解釋：因為復(fù)數(shù)是二元數(shù)，如果僅以實部或虛部來比較復(fù)數(shù)的大小，就會造成比較標(biāo)準(zhǔn)的不一致，而標(biāo)準(zhǔn)的不一致不僅使兩個復(fù)數(shù)難以比較，而且還會破壞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的和諧與統(tǒng)一．等到學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的幾何意義后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)不僅有大小(模)，還有方向(角)，再類比向量就不難理解這個問題了．

3 突出知識聯(lián)系

世界是普遍聯(lián)系的，聯(lián)系是有規(guī)律的，站在聯(lián)系的角度認(rèn)識事物有利于把握事物的本質(zhì)和規(guī)律．?dāng)?shù)學(xué)知識具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，很多新知識都是在已有知識的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展的，數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和相互滲透形成了數(shù)學(xué)知識的整體性和連續(xù)性，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系的程度決定了數(shù)學(xué)理解的深度和廣度．因此教師要站在聯(lián)系的高度來解讀教材，理解教學(xué)內(nèi)容切忌就事論事、固步自封，要環(huán)顧四周、瞻前顧后；要突出知識的前后聯(lián)系，在聯(lián)系整合中理解知識的關(guān)聯(lián)性、整體性、邏輯性，從而使新知識能容易地納入到學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)中，順利地實現(xiàn)知識的同化與順應(yīng)．

4 挖掘思想方法

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識和基本觀點，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的具體策略和手段，是數(shù)學(xué)思想的具體反映．如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的軀體，那么數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)的靈魂，它統(tǒng)率著數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系，是真正理解數(shù)學(xué)的精髓．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中，只有把數(shù)學(xué)思想方法與知識技能融為一體，這樣思想方法有載體、知識技能有靈魂，才能夠幫助學(xué)生真正理地解數(shù)學(xué).而數(shù)學(xué)思想方法不可能經(jīng)過一兩次就能正確認(rèn)識并獲得遷移，需要在長期的教學(xué)中，點點滴滴地孕伏、斷斷續(xù)續(xù)地再現(xiàn)、若隱若明地引導(dǎo)、日積月累地強(qiáng)化，這樣才能使學(xué)生達(dá)到掌握的程度[1]．因此，教師在解讀教材時要深入挖掘內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以數(shù)學(xué)思想方法來統(tǒng)率教學(xué)，切忌浮光掠影、漂在水面；要把相關(guān)內(nèi)容放在整章、整單元、整個模塊、整個高中數(shù)學(xué)中去思考，探尋貫穿其中的核心思想方法，據(jù)此確定知識發(fā)展的邏輯線索，合理安排思維活動，優(yōu)化學(xué)生思想品質(zhì)，培育和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

比如蘇教版必修5第1.1節(jié)“正弦定理”中，教材寫道：我們可以通過下面的途徑嘗試證明上述結(jié)論：①轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；②建立直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)定義；③通過三角形的外接圓，將任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題；④利用向量的投影或向量的數(shù)量積．這段話指出了證明正弦定理的四種方法，那么這四種方法中，講幾種？講哪幾種？這令不少老師感到為難．此時若從數(shù)學(xué)思想方法的角度來分析，問題不在于證法的多少，關(guān)鍵在于能否從中挖掘與提煉出一般的數(shù)學(xué)思想方法，然后再選擇適合的證明方法．事實上，證法①以三角形的高作為不變量建立等量關(guān)系，證法②以三角形某一頂點的縱坐標(biāo)為不變量建立等量關(guān)系，證法③以外接圓直徑作為不變量建立等量關(guān)系，證法④以數(shù)量積作為不變量建立等量關(guān)系．不難發(fā)現(xiàn)，不變量的思想是一條主線，貫穿于四種證法之中；同時這四種方法都是通過垂直關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形或向量垂直，再利用邊角關(guān)系或數(shù)量積為零獲證結(jié)論，無論哪種方法都滲透了不變量思想和轉(zhuǎn)化化歸思想．這樣就看清了證明方法的本質(zhì)特征，也就不難理解為什么教材接著只詳細(xì)介紹了方法①和方法④.因此只要掌握了核心的數(shù)學(xué)思想方法，我們就能登高望遠(yuǎn)、悟透實質(zhì)，就不會再在方法的取舍上糾結(jié)了．

再如,在“空間角”的教學(xué)中，教材只是簡單介紹了異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念，在角的計算、論證等方面要求不高.但這不能成為我們忽視這部分內(nèi)容、降低教學(xué)要求的借口，否則會直接影響學(xué)生空間想象能力及直觀想象素養(yǎng)的提升．因此，我們要跳出教材，站在三種角的聯(lián)系的角度，挖掘三種角的統(tǒng)一性.三種角是刻畫異面直線、直線與平面、平面與平面相交程度大小的，它們都要轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角來度量，體現(xiàn)了空間問題平面化的思想；三種角的統(tǒng)一性還表現(xiàn)在它們之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，線面角可以轉(zhuǎn)化為異面直線所成角，二面角可以轉(zhuǎn)化為異面直線所成角，也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角.從這兩個角度出發(fā)，就產(chǎn)生了計算空間角的兩種基本方法——綜合法和向量法．可見思想指導(dǎo)方法、方法輝映思想，解讀、挖掘出內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是讀懂教材的重中之重．

5 開發(fā)例題價值

圖1

如蘇教版必修5第3.4節(jié)例3：過點P(1.2)的真線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)△AOB的面積最小時，求直線l的方程(圖1)．

這道題涉及直線的方程、基本不等式等知識，教材在這里安排這道例題，目的是訓(xùn)練基本不等式的應(yīng)用．由于必修2的解幾內(nèi)容一般安排在必修5前教完，所以大部分教師在教學(xué)必修2時，已補(bǔ)充講完這道題了．因為當(dāng)時沒學(xué)基本不等式，于是就采用配方法或“勾形函數(shù)”性質(zhì)來求△AOB面積的最小值，再到必修5時，有些教師覺得簡單，可能會舍棄這道題，從而喪失了開發(fā)該題價值的良好機(jī)會.

首先，題目是求△AOB面積S的最小值，說明S是變化的，就需要尋找S變化的“動因”，即S變化是由什么引起的.不難發(fā)現(xiàn)，直線l的位置變化導(dǎo)致了S的變化，這時就需要確定刻畫“動因”的量.經(jīng)過分析，可選擇直線的斜率k，或橫截距a、縱橫距b來刻畫直線位置的變化，這就是變量分析的思想；然后想辦法將S用k或a，b表示，建立S關(guān)于k或a，b的目標(biāo)函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決，滲透了函數(shù)的思想；而設(shè)出直線方程，圍繞參數(shù)k及a，b來探究思路，聯(lián)立方程(組)，又是待定系數(shù)法的直接應(yīng)用．可以說這道題“簡約而不簡單”，內(nèi)涵豐富、意蘊(yùn)深遠(yuǎn)，值得深究．讓學(xué)生充分經(jīng)歷解題思路的探索過程，體悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗、發(fā)展和培育數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．

再次，我們可以對這道例題進(jìn)行變式拓展，以充分發(fā)揮題目的教學(xué)功能．

變式1 求OA+OB最小值；

變式2 求PA·PB最小值；

變式3 求PA+PB最小值；

變式4 若△AOB的面積為6，則這樣的直線有幾條？其方程分別是什么？

另外還可以將本題與必修4第51頁19題“拐角問題”聯(lián)系起來解決．