在習題優選中發展學生的思維

劉小軍

習題教學是數學教學的重要組成部分。教師可以以習題為媒介，通過練習培養學生的數學思維。而思維與解決問題的過程密切相關。那么，教師應該設計什么樣的習題才能有效地促進學生思維的發展呢？

一、重視習題情境設置，促進數學思維發展

學生的思維方式單一，他們有強烈的好奇心和求知欲，當遇到“攔路虎”很容易放棄。學生不喜歡學習抽象的數學概念，更不用說完全理解抽象的課文了。然而，學生有具象的思維，他們的共同思維和好奇心很強，對于數學習題，教師可以在創設情境時設計探索性練習，使學生能結合具體的事物來理解抽象的數學知識，從而不斷調動學生的學習積極性，促進數學思想的滲透。

例如，在教學《十進制加減法》一課時，教師首先要創設一種符合本章關鍵知識點的教學情境，即建立學生在商場購買學習用品的場景，然后以學生的書籍、文具、練習本、文具等為商品，鼓勵學生進行角色扮演活動。同時，提出問題：“如果爸爸媽媽給你1元，5元，10元，50元各一張，你會選擇買什么商品？”“如果你想買這些商品，你應該付多少錢？”在這種教學情境下，教師也可以通過觀察學生的表現給予適當的指導，并進一步提出相關的問題。學生想要購買不同的文具用品，所以支付給銷售人員的錢也是不同的，這樣創設教學情境不僅提高了學生的參與率，而且提高了學生的學習體驗。通過不斷的思考和探索，學生逐漸理解了問題中包含的一系列數學思想，也懂得如何利用以往的經驗和知識來解決問題，從而促進學生數學思維的發展。

二、采用不定型開放題，提升思維深刻性

在問題解決的進程中，教師要引導學生調動自身原有的知識儲備，和實際情形結合起來，對問題的分析堅持從不一樣的角度實施綜合分析，做出判斷、形成結論，提升學生思維的深刻性。

例如，在教學《分數》一課時，學生往往會對分數所表示的“分數率”和“特定數量”感到困惑，從而導致解決問題時知識點上的錯誤。雖然教師一再指出他們的不同之處，但很難達到預期的效果。在分數應用題學習后，學生被要求做這樣一個練習：“有兩根長度相同的繩子，第一根繩子斷了[910]，第二根繩子剪了[910]米，剩下哪根繩子長？”問題提出后，有學生積極發言說長度一致，也有學生認為不一樣長。對這些想法，教師引導學生進行探索。學生的意見一個接一個發表出來，經過辯論，漸趨統一。兩根繩究竟是怎樣的長度還不能確定，必須知道原來的繩長，才能確定剩余繩長。經過充分討論，其結論是：

（1）從長度來衡量，倘若1米的長度繩子出現時，這根繩子就是[910]等于[910]米，因而這兩根的繩子剩下的長度是一樣的;

（2）繩子的長度比1米長，第一繩[910]大于[910]米，第二繩的剩余長度長;繩子之長度比1米小，而比[910]米大時，第二繩長度短。繩的長比[910]米小時，此問題不成立，因為不可能從第二根繩子上切斷[910]米。

這些訓練使學生對“分數率”與“特定數量”差異的理解進一步加深，鞏固了學生運用分數解決問題的方法，有效培養了學生思維的深度，學生分析和解決問題的能力得到了全面的提高。

三、設計多向型開放題，培育思維的廣闊性

對于同一問題，多方向開放問題可以有多種思維方向，這樣學生就可以有縱向和橫向聯想，激發學生解決多個問題，思考一個問題的多種解法，一個問題的多種思路，一個問題多種變化的設想等，訓練學生發散思維，培養學生思維的廣度和靈活性。

例如，A隊和B隊要建成長1500米的一條公路，要求在20天內建成。建成后A隊和B隊相比，A隊多建了100米，35米是B隊每天建的量，問每天A隊建多少米？考慮的角度不同，解也會不一樣。

（1）找出B隊20天的修建情況，根據總長和B隊20天修建數，找出A隊修建20天的數，然后求A隊每天修建數。公式為（1500-35×20）÷20。

（2）找出B隊20天的修建情況，根據B隊20天的修建情況和A隊比B隊多100米的修建情況，將A隊修建之20天情況找出來，繼而對A隊每天修建的數字求出來。公式為：（35×20+100）÷20。

（3）可以將兩隊每天一起修建多少米求出來，繼而再將A隊每天修多少米求出來。公式是：1500÷20-35。

（4）可以知道A隊每天比B隊要多修建多少米，然后求A隊每天修建多少米。公式是：100÷20+35。

（5）假設B組和A組修建數量與A組一樣多，則20天兩隊修建（1500+100）米，然后求A隊每天修建數。公式為：（1500+100）÷20÷2。

（6）假設B隊和A隊的修建次數與A隊一樣多，則兩隊作業20天（1500+100米），然后求A隊20天修建數，再求A隊每天修建數。公式為：（1500+100）÷2÷20。

需要強調的是，以上的分析需要學生找出最簡單的方法的種類和思維最簡單的類別。這類問題可以使學生的思維空間獲取最大，進行問題的分析，善于從不同的角度，探究它們之間的數量關系，在能夠解決這一問題的多種方案中尋找解決問題的最佳途徑，有效提升學生的邏輯思維能力，積極培養學生思維的廣度和靈活性。

四、運用余缺型開放題，培育思維的靈活性

干擾因素強的數學題目，如多余的公開問題、有用的條件和無用的條件糅合在一起，容易造成理解和解答有一定的難度。傳統的解決方法局限于解決問題思維的封閉性，造成學生在學習中有較大的難度。但是如果進行思維拓展，從不同的角度去思考，就可以解決這些問題。教師要引導學生認真分析條件與問題的關系，對有用的條件充分利用，對那些無用條件堅決擯棄，對那些有干擾判斷的因素及時清除，使學生的識別技能和批判性思維得到有效的提高。

例如，一根繩子長25米，第一次用8米，第二次用12米，這條繩子比原來短多少米？因為受到解決問題封閉性思維習慣的影響，學生經常會產生一種思維方式和習慣，即在解題過程中將所有條件都用到。這一道題目，如果不仔細分析問題，錯誤的表述是：25-8-12或25-（8+12）。其實，解答這一問題，在解題之時，教師可引導學生用圖畫分析法來探究，使學生明了，和原先的繩子相比所少的米數，實際上就是說兩次用了多少米，題目中出現的25米的條件和問題的解決沒有關系，正確的公式應是：8+12。

再如，在一個面積12平方厘米的正方形中，切一個最大的圓圈，多少平方厘米是切圓的面積？按照傳統的思維方法，對圓的面積的求法，可先求圓的半徑，據問題看，圓的半徑為一半的正方形邊長，然而按照問題中羅列的條件，用小學的數學知識無法計算出結果。解題中我們可以把切圓的半徑設為r，然后正方形的邊長是2R，正方形的面積是（2R）2=4r2=12，r2=3，所以圓的面積是 3.14×3=9.42（平方厘米）。也可以這樣想：用四個小正方形替換原先的正方形，每個小正方形的邊長是切圓的半徑，用r設圓之半徑，那么每個小正方形的面積也是r2，原正方形的面積是4r2，r2=[124]，剪切圓的面積是3.14×（12÷4）=9.42（平方厘米）。

分析這樣的一類問題，學生只有對問題給出的條件認真甄別，在眼花繚亂的條件中辨明是非，找出要運用的條件，強化批判性思維，辨別虛假事物、提高識別真實事物的能力，才能使自己的思維靈活性得到有效培養，對提高學生靈活解決問題的能力幫助極大。對于開放類習題，由于沒有現成的解決模式，在解決問題時往往需要從不同的角度進行思考，答案的不確定性隨處可見。教師在引導學生解答這類習題中，能夠進一步激發學生的好奇心和豐富的想象力。

總之，在習題教學中，教師不能盲目追求習題的數量，而應仔細篩選習題，注重方法和技巧，注重學生數學思維能力的培養，為學生后續的數學學習打下良好的基礎。

（作者單位：江蘇省如皋高新區實驗小學）

（責任編輯 吳磊）