從“經歷”到“感悟”讓數學思想在課堂落地生根

黃英

數學思想是數學學科發展的精髓，也是研究數學的重要依托。在數學知識的學習中，教師要引導學生去感悟數學思想，并以此為根基，演化為具體的策略促進數學問題的解決。在這樣的學習過程中，學生對于數學思想的認識將更加深入，也將進一步提升他們的數學素養，讓學生具備獨立學習數學的基本能力。

一、感受數學思想，認識到數學思想的作用

數學思想是隱性的，需要結合學習過程去學習，所以數學思想的教學不同于基本知識和基本技能的教學，能通過講解和模仿等過程直接傳遞給學生，而是要讓學生結合自己的經歷和體會自己去感知、抽象和領悟。在數學課堂教學中，只要是涉及數學思想的內容，教師要推動學生運用語言來描述自己的感受、體會，將隱性的東西表面化，這樣可以推動學生更好地認識數學思想，認識到數學思想對于數學學習的巨大作用。

例如，在教學《轉化的策略》一課時，我首先出示例題中的圖形，讓學生想辦法算出兩個圖形的面積是多少。面對兩個不規則的圖形，學生很自然地想到了將圖形割補和移動的辦法，將兩個圖形都轉化為長方形來計算其面積。在學生交流了自己的做法之后，我引導學生總結為什么可以這樣做，學生指出在操作的過程中，圖形的面積不變，只是形狀發生了變化，而運用切割和平移的辦法之后，將原來的不規則圖形轉化為規則圖形，可以讓問題快速得到解決。在總結解決問題的過程中，學生對于什么是轉化、轉化有什么原則以及有什么作用有了深刻的認識。在此基礎上，我引導學生回憶之前的學習中有沒有用過這樣的策略，學生首先想到的是幾何圖形的面積推導過程。比如，平行四邊形的面積是將平行四邊形轉化為長方形來計算的，梯形和三角形是轉化為平行四邊形來計算的。在肯定了學生的意見之后，我引導學生跨越圖形的范疇去回憶其余領域有沒有運用轉化來解決問題的實例，學生想到了異分母分數轉化為同分母分數的加減法計算，想到了將分數除法轉化為分數乘法來計算的例子，還有學生回憶起小數的計算中也有一些將乘法轉化為除法以及將除法轉化為乘法的巧算方法，這些回憶都推動了學生對轉化的認識，讓學生體驗到轉化是一種廣泛使用的數學方法。在這個環節之后，我還以“曹沖稱象”的實例來強化學生的認識，學生在這樣不同領域不同范疇的轉化的實例“熏陶”之下，對于轉化策略的體驗異常深刻。

有了足夠的體驗之后，學生無須教師過多強調就能感受到轉化的作用，從而將轉化策略深深印到腦海中，形成轉化的思想，一旦外界條件刺激，學生就能調用這些經驗來解決問題，這說明學生已經在腦海中形成了轉化的思想。實際教學中，教師要強化數學思想的教學，幫助學生鞏固認識，讓學生形成深刻清晰的思想意識，為學生學習數學思想打下堅實的基礎。

二、提煉數學思想，納入數學體系范疇

鑒于數學思想的內隱性，在數學教學中教師要通過多種形式的學習活動來促進學生領悟到數學思想，體驗數學思想為數學學習帶來的便捷之處，從而讓學生提煉出數學思想，甚至用語言來描述出數學思想，將數學思想納入數學體系中。為達成這樣的目標，教師要善于推動學生去觀察和比較、整理和歸納，讓學生在尋找共性過程中加強對數學思想的體會。

例如，在教學《轉化的策略》第三課時，教師出示了[12]+[14]+[18]+[116+132]的算式，引導學生畫一個正方形表示“1”，然后在正方形中將所有的加數表示出來。在觀察之后學生發現，這樣的加法算式可以轉化成減法來計算，并且因為不需要通分，所以計算比較簡便。此后教師又出示了1+3+5+7+9+11的式子，讓學生想想可以怎樣來簡化這樣的式子。學生做了思考，想到了將這些加數配對，每一對的和都相等，在肯定學生想法的基礎上，教師用畫圖的方法將這個式子表示出來，算式中的“1”就畫一個點，“+3”就在1的周圍點上三個點形成一個2×2的正方形，“+5”就在原來的正方形外面再增加5個點，形成一個3×3的正方形。在觀察教師畫圖的過程中，學生漸漸有了想法，發現這樣的加法可以轉化為正方形點的數量來計算，像這個式子就等同于計算6的平方。結合這兩個例子，學生對于轉化的思想有了更多的體會，而在引導學生交流是通過什么方法來發現這些特殊的問題可以轉化時，學生指出畫圖是關鍵。在第一個問題中，因為可以用正方形表示1，所有的分數都可以表示出來。第二個問題也是因為畫圖可以找到將加法算式轉化為乘方來計算，而且這些圖與算式中的數是吻合的，這就推動學生認識到了數形結合的思想，并感知到數形結合思想在解決數的領域的問題中有重要的作用。

數形結合是一個重要的數學思想，從數學的角度來看，數形結合打通了代數與圖形領域的分界，從學習者的角度來看，數形結合可以讓學生結合形來認識數，運用數來描述形，這是推動學生數學學習深化的重要途徑，也是引領學生數學學習走向廣泛的重要數學思想。在實際教學中，教師引導學生比較兩個式子計算的共同點，讓學生在觀察中體會到畫圖對于計算的作用，學生對于數形結合的思想就有了直觀的認識，之后再結合學習來深化理解，數形結合會深入學生的知識體系，并在關鍵時刻起到重要作用。

三、深化數學思想，提升到自覺應用的程度

在學生認識了數學思想之后，教師要推動學生去應用數學思想解決實際問題，在解決問題的過程中深化對數學思想的認識，讓數學思想成為學生數學體系中不可或缺的一部分。即便是一段時間過后，學生將一些數學知識遺忘了，學生的數學技能也退化了，但是這些數學思想已經成為他們骨子里的東西，成為其解決問題的工具，成為學生在面對新問題和新事物時的好奇、探究和質疑的源泉，為他們的發展提供幫助。

例如，在教學《分數乘法》一課時，有這樣一個問題：六2班一共有48名同學，在報刊訂閱情況的統計中發現，其中有[34]的學生訂閱了《語文學習報》，有[23]的學生訂閱了《小學生數學報》，那么兩種報紙都訂閱了的學生最多有多少個？最少有多少個？在獨立思考這個問題的時候，學生通過畫圖、列式計算的方法得出了答案，然后我組織了學生交流，在交流過程中，學生闡述思路：因為知道六2班學生的總數，知道訂閱兩種報紙的學生是全班的幾分之幾，所以可用乘法算出訂閱兩種報紙的各有多少人，而問題指出訂閱兩種報紙的最多有多少人，最少有多少人，所以可以假設沒有訂《語文學習報》的人都訂閱了《小學生數學報》，這樣全班范圍內需要訂閱兩種報紙的人就最少。反之，如果沒有訂閱《語文學習報》的人也沒有訂閱《小學生數學報》，那么訂閱兩種報紙的人就最多。在這樣的思路推動下，學生成功地找出了解決問題的方法，并且通過畫圖等方法驗證了自己想法的合理性。

在這個案例中可以發現，學生的極限思想起到了重要的作用，在審題的時候學生發現，除了兩個分數之外并沒有提供學生訂閱報紙的其他情況，所以要求“最多多少人”和“最少多少人”，就需要學生考慮最極端的情況，而且在這個過程中學生要根據實際情況進行推理，這些都是學生數學思想的自然流露，也是推動學生成功解決問題的關鍵。

總之，數學思想是學生數學學習中的重要組成部分。在實際教學中，教師要引導學生感悟數學思想，體會數學思想在數學學習中的作用，并強化學生對于思想的描述，加強學生對應用數學思想實例的體會，推動學生數學思想學習的深化。

（作者單位：江蘇省南通市小海小學）

（責任編輯 吳磊）