在“變”與“不變”中教學生學會思考
——以“平面圖形為背景的應用題研究”一課為例

王文杰 (江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 215021)

在蘇州市2019屆高三數學二輪復習教學研討會中筆者開設了題為“平面圖形為背景的應用題研究”的公開課，獲得專家與同行的一致好評.專家的指導和同行的鼓勵促使筆者思考如何在高中數學課堂的“變”與“不變”中教學生學會思考、培育學科核心素養.現將這節課的教學過程及思考整理如下，供大家交流.

1 課堂重現

1.1 教學目標

這節課的教學目標如下：(1)了解應用題研究的一般方法；(2)學會從“幾何”“代數”角度研究平面圖形為背景的應用題；(3)掌握合理選擇變量、優化研究問題的方法；(4)培養觀察問題、分析問題、轉化問題、優化問題的能力，提升數學核心素養．

這是高三二輪微專題應用題方向的一節復習課，教學目標的第一點是讓學生把握應用題研究的共性方法，其次根據平面圖形為背景的應用題的特點教會學生研究此類問題的策略及思考方式．

1.2 教學過程

·回顧好題，引出問題

圖1

(1)已知修建道路PA,PB的單位造價分別為 2m元/km和m元/km，若兩段道路的總造價相等，求此時點A,B之間的距離；

分析 (1)生1：建系→P(2,1)→B(3,3)→AB； 生2：設角→正弦定理.

總結:此類應用題的特征？研究角度？

師：此類應用題以平面圖形為背景，特征明顯．研究角度是代數角度與幾何角度的選擇，代數角度一般考慮“設斜率”“設點”“設直線”，幾何角度一般考慮“設角”“設邊”．本題第(1)問建議從代數角度求解，第(2)問建議從幾何角度求解；合理選擇角度，可優化研究問題．

設計意圖以學生熟悉的問題入手，抓住學生的最近發展區，在學生做過的舊題中講出新意，在學生對問題似是而非的模糊理解中指明解題路徑．

·例題導析，探究問題

例2(2016屆南京鹽城高三一模)如圖2，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規劃在拐角處(圖2中陰影部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB．問：A，B兩點應選在何處可使得小道AB最短？

(師生共同探究，教師板書)

圖2 圖3

圖4

總結：本題你更喜歡哪種方法?為什么?

設計意圖解法1從代數角度入手，解題入手簡單，運算量稍大；解法2從幾何角度考慮，需要發現幾何特征，運算量稍小．

串講 如圖5，某人工景觀湖外圍有兩條相互垂直的直線型公路l1,l2，且l1和l2交于點O．為了方便游客游覽，計劃在人工景觀湖靠近點O的一側修建一條連接公路與景觀湖的直線型公路AB．景觀湖的輪廓可以近似看成一個圓心為O′、半徑為2百米的圓，且公路AB與圓O′相切，圓心O′到l1,l2的距離均為5百米，設∠OAB=θ，AB長為L百米．

(1)求L關于θ的函數解析式；

(2)當θ為何值時，公路AB的長度最短？

圖5 圖6

總結:本題的背景模型你熟悉嗎?還有哪些相關問題?

激活 “直角走廊”問題→引入問題(圖7)

圖7

設計意圖引題→例題→串講→聯想→激活→引題，在平面圖形為背景的應用題研究中，雖然題目在變、問題研究角度在變、變量選擇在變，但問題背景不變，題目本源不變，思考方式不變，培育的數學學科核心素養不變，在“變”中發現“不變”，讓學生在“不變”中學會“變”．

·本課導思，策略問題

總結:平面圖形為背景的應用題的研究策略有哪些？

(1)讀；(2)列式；(3)選擇；(4)優化；(5)規范.

2 教學反思

高中數學題目千千萬萬，研究的數學問題千變萬化，困惑著學生也困惑著教師，如何在一題多變中發現“萬變不離其宗”？筆者認為,數學問題研究的關鍵是在“變”中學會發現“不變”，在“不變”中學會應對“變”．

(1)數學問題外貌的“變”，知識點考查的“不變”

數學題目的很多變化是文字表述的不同，不同的表述增加了理解難度，但考查的知識點是一樣的，考查的本質沒有變．我們可以來看下面兩個問題：

在教學實踐中筆者發現：學生對于問題①的理解和掌握程度明顯優于問題②，學生困惑于問題外貌的“變”，而未理解兩個問題本質都是考查分段函數單調性這個知識點．數學問題研究的關鍵是“變”與“不變”，教師在教學中不僅要教會學生做題，更要教會學生從數學問題外貌的“變”中看透知識點考查的“不變”．

(2)知識點考查的“變”，問題研究角度的“不變”

高中數學問題研究涉及的知識點很多，例如向量的數量積問題、解析幾何的定點定值問題等，包括本文中的課例“平面圖形為背景的應用題研究”.雖然知識點考查在“變”，但問題研究角度是“不變”的：從代數角度或是幾何角度考慮，從條件角度或是所求角度入手．數學問題研究的核心是教會學生思考，教師要引導學生從知識點考查的“變”中，發現思考問題研究角度的“不變”，做到“以不變應萬變”．

(3)問題研究角度的“變”，研究思想的“不變”

數學問題研究的角度不同，如果說這也是一種“靈活多變”的話，那么問題研究的思想是“不變”的.例如“簡單問題先處理”的思想、“轉化研究問題”的思想、“優化研究問題”的思想等．分類討論的問題貫穿高中數學問題研究的始終，明確討論標準，“簡單情況先討論”就是“簡單問題先處理”的思想的典型運用；數陣問題研究中，將數陣中的“數”排成一列即可轉化為研究一個數列問題，而有些規律明顯的“分段”數列問題也可以將其轉化為數陣問題，這些都是轉化研究問題的思想靈活運用；導數在函數研究的運用中，構造“差函數”還是“商函數”，如果是構造“商函數”，以誰為分母構造“商函數”，這些都是不斷通過優化來研究問題的思想．數學問題研究的目的是培育學生的核心素養，數學問題研究的“變”是為了讓學生形成研究數學問題的思維方式，做到“萬變不離其宗”．