借助問題驅動 促進素養提升
——以高三專題復習“動態空間幾何中的最值問題”為例

賴忠華 (浙江省龍游縣教師進修學校 324400)

徐麗峰 (浙江省江山中學 324100)

美國數學家哈爾莫斯曾說：“問題是數學的心臟．”數學的研究與發展都是以問題為中心的.新課改強調問題在學習中的重要性，主張通過問題來學習，把問題作為學習的起點和動力貫穿在整個學習過程之中，并通過學習來生成問題、深化問題，把學習看成是發現、提出、分析和解決問題的不間斷過程．“變式教學”是我國數學教育的重要特色之一，它通過不同的角度、不同側面、不同背景，從多個方面變更所提供的數學對象的某些內涵以及數學問題的呈現形式，使數學的非本質特征時隱時現而本質特征保持不變的教學形式[1]．盡管數學題型千變萬化，但其都有深層的“根”存在著，通過尋找“題根”與變式，進而結成“題網”即問題鏈[2]，用此精心設計的“題網”式問題鏈驅動知識的建構，探究、促進認知結構的完善，對激發學生的求知欲和潛能，提高課堂效率，培養和落實學生的數學核心素養，能起到很好的效果．高三備考復習是中學數學教學的最后階段，也是對中學數學知識的高度概括總結和提煉拔高階段，教師如何通過有效“題網”式問題鏈，讓學生在解決問題過程中對知識進行組織、整理、升華顯得尤為重要．本文以高三專題復習課“動態空間幾何中的最值問題”為例，做部分嘗試并交流教學體會，希望能給廣大讀者以啟發．

1 教學過程簡述

1.1 問解與提煉

圖1

圖2 圖3

設計意圖通過人教A版選修2-1中的一道習題引入，能降低思維起點，充分調動學生積極參與課堂．通過坐標法和幾何法兩個角度構造函數模型解決最值問題，幫助學生歸納、總結、提煉動態空間幾何中的最值問題的解題策略之一，即引入參數(變量)構造函數，將問題轉化為求函數的最值問題，提高學生的直觀想象能力和數學建模能力．

變式1(2011年遼寧賽區預賽第6題)在如圖4的試驗裝置中，正方形框架邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC，BF上移動，使得MN∥平面CBE，求MN的最小值．

圖4 圖5

分析 由已知條件知AB⊥CB，AB⊥BE，所以AB⊥平面CBE．因為MN//平面CBE，故AB⊥MN．如圖5所示，過M作MP⊥AB于點P，連結NP，則AB⊥平面MPN，所以AB⊥NP． 過M作MQ⊥BC于Q，因為△MQC，△BPN都是等腰直角三角形，且MQ=BP，所以△MQC≌△BPN，從而CM=BN，即由MN∥平面CBE可以推出CM=BN，變式1轉化為課本習題．

設計意圖通過對變式1的分析，讓學生感悟同一問題的不同表述方式，感受數學問題之間的相互聯系．學生雖然能較直觀地想象出變式1與課本習題的等價性，但缺少嚴密的邏輯推理．實際教學中應讓學生充分暴露思維過程，體會數學推理的嚴密性，培養學生用聯系的觀點看問題的習慣，提升直觀想象、邏輯推理和轉化化歸能力．

1.2 探究與發現

圖6

變式2如圖6，ABEF是邊長為1的正方形，弧APB是以AB為直徑的半圓，且AP=BP，平面ABEF⊥平面ABP，若M，N是線段BF上的兩個動點，滿足∠MAN=30°，求三棱錐P-AMN體積的最小值．

圖7

圖8

設計意圖通過改編問題的背景和目標，實現教材的二次開發．在求體積最小值的過程中，將三維(體積)轉化為二維(面積)，讓學生感受轉化與化歸思想的重要性，并促使學生從多角度(如引入邊參數、角參數等)構造函數模型，多維度分析解決問題，培養學生一題多解的思考習慣．

圖9

變式3如圖9，ABEF是邊長為1的正方形，弧APB是以AB為直徑的半圓，且AP=BP，若M，N是線段BF上兩個動點，且滿足∠MAN=30°，求三棱錐P-AMN體積的最大值．

設計意圖變式3增加了翻折這一動態因素，形成多動態最值問題．通過類比變式2，將多變量問題轉化為單變量問題，比較變式2的解法1、解法2，選擇三角函數求最大值，加深對三角函數圖象與性質的認知，促使學生深度理解、類比探究、選擇應用，這是學習能力逐步提升的階梯．

1.3 拓展與提升

圖10

變式4(2016年浙江高考理科第16題)如圖10，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=AD，PB=AB，則四面體PBCD體積的最大值是．

設計意圖通過變式4，深度理解建立函數模型解決動態空間幾何中的最值問題的基本步驟和方式，讓學生感悟解題不只是關注結果，更重要的是如何選擇最佳的路徑，引入最合適的參數，采用最合理的運算等，優化學生的認知結構，培養數學思維能力，落實數學核心素養．

變式5(2019浙江賽區預賽第5題)如圖10，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=AD，PB=AB，則點P到平面BCD距離的最大值是．

圖11

解法2 如圖11所示，過A作AH⊥BD，則點P到平面BCD的距離d≤AH，當且僅當平面PBD⊥平面BCD時取等號．隨著D點運動，點H形成的軌跡是以AB為直徑的一段(大于半圓的)圓弧，故AH的最大值為直徑AB，即點P到平面BCD的距離的最大值為2．

設計意圖通過變式5的分析、解答，讓學生感受數學問題的相互聯系，體會高考題、競賽題的源與流，消除對動態立體幾何問題的畏難情緒，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力．

1.4 回顧與總結

回顧本專題的學習過程，總結用函數模型解決動態空間幾何中的最值問題的一般過程，深化理解數學問題分析過程中體現的類比推理、轉化化歸、分類討論等數學思想方法．

設計意圖數學理解的一個基本要求就是讓學生理解知識、掌握思想方法．回顧不是簡單地回頭望，而是重新審視自己經歷的過程，提煉過程中的精華，將新舊知識進行有效的重組與融合，形成新的認知結構．

2 教學反思

動態空間幾何中的最值問題是一類綜合性問題，注重考查學生的空間想象能力、抽象思維能力、轉化構造能力．因此在高考、競賽中備受命題人的關注．這類問題常考常新，解題方法主要有代數法：通過引入變量(參數)將所求問題轉化為函數問題加以解決；幾何法：結合問題特點，通過平移、旋轉、展開等手段，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題加以解決．本專題結合近幾年浙江省高考(競賽)命題特點和學生學習情況，重點講述用代數法解決動態空間幾何中的最值問題．

(1)問題是數學知識的載體，是數學思維的源泉，問題設置的有效性是有效課堂教學的核心，數學學習始于問題且終于問題．在高中數學課堂教學，特別是高三備考復習教學中，嘗試運用“題網”式問題鏈組織教學，不但有助于激發學生的探究欲，調動學生的學習興趣，還能直擊并有效突破教學重難點，促進知識的聯系、滲透和遷移，提升課堂教學效果，發展學生的數學思維．而“題網”式問題鏈設置的一條重要途徑是以教材為本，研究教材，找到設置的知識點，并結合不同階段的教學內容、教學目標、學生的認知特點等精心設計、難易相當，使其成為引導學生探究數學問題的指明燈[3]．本專題從課本的習題出發，在吃透教材、明確習題考查的知識點的基礎上，采用變換題干、改變角度、轉化背景等方式，精心設計“題網”式問題鏈，并通過開展扎實有效的探究活動，發展學生的數學思維能力，培養學生的數學核心素養．

(2)探究性教學是以探索和研究為主的教學，問題驅動是探究性教學常用的教學手段，以問題為引領的探究性教學是提升學生數學思維能力的有效途徑．為此，教師應明確所教學生的認知水平與數學學習能力，找準學生的“最近發展區”，充分抓住某些典型的數學問題，通過設置“題網”式問題鏈優化課堂教學環節，為學生創設探究的情景．在教會學生通性通法的基礎上引導他們多角度、多層次地探究不同的思考方式，架起學生現有發展水平與潛在發展水平之間的橋梁，使學生進一步加深對數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的理解與掌握，積累基本活動經驗，在學習數學知識的同時提高數學思維品質，增強分析問題、解決問題的能力．

(3)學生始終是學習的主體．構建主義認為，學習是學習者在一定的社會文化背景下，利用一定的學習資料，通過構建的方式來獲得知識的過程．弗賴登塔爾認為，數學教學方法的核心是學生的“再創造”，就是讓學生在現實活動中通過自己的實踐和思考去創造、去獲取數學知識，而不是生吞活剝地將數學知識灌輸給學生．為此，在課堂教學中，教師應該在情境創設、交流合作、反思評價、誘導遷移等方面實施有指導的再創造，并把再創造的教學變成一個不斷增值的過程，將所學的各個部分有機地結合起來．“題網”式問題鏈是有效的活動載體之一，它通過題題相連、層層深入，啟發學生透過現象有效抓住問題的本質，拓展思維空間，促使學生構建出屬于自己的解題結構與經驗．通過總結歸納解題思路和方法，提高學生對數學整體知識結構的認識，在解決問題的同時鍛煉學生獨立思考能力與合作交流精神，提升數學核心素養．

總之，在高中數學課堂教學中，采用“題網”式問題

鏈的教學方式，能有效提升教學的針對性和有效性．“題網”式問題鏈的設計需要充分發揮數學教師的智慧，并結合學情，以培養學生創造性思維、探究能力為目的，才能達到最佳的教學效果．