于尋常之中發現不尋常
——“任意角”的教學設計與反思

張志勇 (江蘇省常州市第五中學 213000)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級高中普通班，基礎一般但已有一定的閱讀表達和推理運算能力，并且基本掌握了GeoGebra的常見操作要領，能簡單應用軟件開展數學探究活動．

1.2 教材分析

“三角函數”是蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修4)》第1章內容，“任意角”則是高中三角函數模塊的第1課時．本節課的內容是任意角的概念，教與學的重點在于回答三個問題，即為什么引入任意角、如何進行概念推廣、推廣后的角怎樣應用以嵌入到原有的認知結構中．首先，引入任意角是為了滿足生活實際的需要，所以需要有大量超出學生對角的原有認知范圍的生活實例(周而復始現象)的呈現；而作為章節起始課，有必要從三角函數的研究需要出發，居高臨下地去思考角的推廣的必要性.三角函數是描述客觀世界周期性變化規律的重要數學模型，于是角的概念推廣可視為三角函數研究的前奏(可類比指數冪的概念推廣引入任意角)．其次，角的推廣有旋轉量與旋轉方向兩個維度，一方面改造角的靜態定義為動態定義(旋轉角)，形成量(數值大小)的突破；另一方面引進角的符號，區別旋轉方向的差異給出正角、負角的概念.角的概念推廣后，可適當點明“任意角”與原有“角”的關系(內在兼容一致性，解決“小角減大角”的矛盾沖突等)．再次，任意角的應用首先在于“數”與“形”的對應，而任意角的幾何刻畫離不開始邊、終邊和帶箭頭的螺旋線這三個要素，于是有必要把角放在同一個參照系下進行討論(以直角坐標系為基準，引入象限角的概念，重點考察角的終邊位置).這樣，終邊相同的角便是角的周期性變化規律的代數表示，用數量關系可表示為“終邊相同的角相差360°的整倍數”．

綜合上述分析，本節課擬采用的教學策略為：一是開展可視化教學，通過呈現豐富的典型實例，讓學生積累足夠的數學體驗從而理解周而復始現象的變化規律，同時借助GeoGebra實驗平臺讓學生在“動態旋轉”中建構任意角的概念、理解終邊相同的角的符號表達；二是重視問題引導，在思維“關節點”與“關鍵點”處駐足停留，對于為什么要推廣角的概念、怎樣將角放置于直角坐標系中研究等問題，通過問題串的方式不斷追問，以引導并幫助學生構建和完善任意角的概念．

1.3 教學目標

(1) 經歷完整的角的概念的推廣過程，認識角的推廣和引進象限角的必要性與合理性，結合具體情境提煉、歸納、發現任意角的概念，認識任意角在刻畫周期現象中的作用．

(2)正確把握任意角的概念，從旋轉量、方向等角度認識正角、負角、任意角的概念；會從數與形兩個角度刻畫任意角，能在坐標系中熟練地繪制角，并正確判斷角的象限；熟悉化角技巧，能列舉與已知角同終邊的角并寫出相應角的集合．

教學重點 任意角的概念推廣及表示．

教學難點 終邊相同的角的表示．

2 教學過程

2.1 創設情境，厘清思路

·周而復始現象解析

問題1數學源于生活.現實世界中的許多運動、變化都有著循環往復的現象，如地球自轉和公轉帶來的晝夜交替和四季變化、月亮的盈虧圓缺以及潮汐漲落，又如車輪旋轉、單擺運動、電流變化等．面對生活中存在著的眾多周而復始現象，怎樣的數學模型可以用以刻畫這種變化規律呢？

投影生活中周期性現象的動圖實例(如圖1，鐘表時間變化、地球自轉公轉、行星運行軌跡等),并請學生列舉日常生活中類似的周期現象，如年月的劃分、摩天輪的轉動、公交車的運行時刻表、跳水運動員的轉體動作等；師生齊聲朗讀詩句(摘自湘教版教材)“東升西落照蒼穹，影短影長角不同；晝夜循環潮起伏，冬春更替草枯榮”，以感自然輪轉之神奇、悟周期變換之規律．

圖1

引領學生追蹤動圖中點與線的變化，突出“角”的刻畫自然性，并開門見山地指出：“函數是刻畫生活現象的最基本的數學模型，描述這種周期性變化規律，需要學習一類新的函數，即三角函數.”投影GeoGebra中研究三角函數的部分場景(圖2)，由增減性和波峰波谷等簡要分析圖象中所反映出來的周期特性．

圖2

設計意圖圖象的呈現不應僅停留于現象的描述，更重要的是要引導學生“看”到數學，即體現“用數學的眼光、視角發現問題”．圖1可以將問題空間的表征聚焦到“角”的應用；圖2的超前出示則可以讓學生確信“三角函數是描述客觀世界周期性變化規律的重要數學模型”(一目了然)，同時也為下階段從函數研究視角思考角的概念推廣作鋪墊，因為函數要求定義域為R，而角的范圍只在0°～360°，有沖突，也就有了推廣的必要(圖1、圖2分別對應著生活表達的需要和數學研究的需要)．

·函數研究經歷回顧

問題2三角函數是我們將要開啟的新的學習旅程，出發之前要做“行程攻略”，研究三角函數也應該思考三個問題，即目前在哪里(已知)、將到哪兒去(目標)、中間經歷怎樣的步驟(路徑).

溫故而知新，在教師引領下學生回顧既有的函數學習經驗：必修1中涉及的具體函數包括指數函數、對數函數和冪函數等；函數學習是從圖象到性質，性質包括定義域、值域、單調性、奇偶性等；指數函數中還有分數指數冪，對數函數先學習對數運算；指數函數的定義域為R，所以要將指數冪擴充，從整數指數冪到分數指數冪，再到無理指數冪，最后得到實數指數冪．從中梳理出以下結論：

(1)函數的學習進程(基本范式)：概念推廣→函數圖象→函數性質→模型應用(圖3)，概念推廣往往是函數研究的開始(解決函數定義域問題)．

圖3

(2)概念推廣的一般要求：新概念兼容舊概念，解決數學中的沖突，運算性質基本不變．

設計意圖梳理函數學習進程是想告訴學生“角的推廣是三角函數研究的前奏”，將任意角納入到函數研究的框架中進行思考.這雖然會多花費些時間但可以提升學生的歸納總結能力，也可避免學生在學習中因不知所以然而“摸著石頭過河”的情況發生．同時，指數冪的概念推廣是角的推廣的先行組織者，從分數指數冪的推廣中可獲得類比推廣角的直接經驗．

2.2 類比探究，推廣概念

· 角的知識回顧

問題3三角函數的研究要起步于角的概念推廣，那么初中時是怎么定義角的呢？

圖4

角的原有定義：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，角有頂點和兩條邊(圖4)．角的范圍為 0°～360°，有銳角、直角、鈍角、平角、周角之分．

教師帶領學生回顧角的原有定義并在黑板上畫出圖形，投影展示另一組動圖實例(如圖5，運動員跳水、旋轉中的風力發電機、傳動中的機械齒輪等)．

圖5

設計意圖知識回顧是讓學生清楚地知道目前在哪里，動圖展示是提示將到哪里去，消除兩者之間的落差便是角的推廣的基本任務.黑板板演作圖同時為后繼定義改進作準備．

·推廣1：量突破

問題4生活中有很多場景，如體操跳水中“轉體兩周半”、分針走過2分鐘秒針走過多少度等，原有角的范圍僅限于0°～360°，對這些都難以區分，所以需要對“角”重新定義、加以擴容.如何重新定義“角”更加合理呢？

圖6

教師用三角板跟蹤圖6中的動圖，作旋轉狀以啟發學生思考將“角”動起來；在原有構圖中增加帶箭頭的螺旋線以對應旋轉，并與學生共同討論，將“邊”區別修正為“始邊”和“終邊”．

定義改造1：一個角可以看做由平面內一條射線，繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形；其中射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊．

設計意圖改造角的定義為旋轉角(區分始邊和終邊，引進帶箭頭的螺旋線)可以破除360°的制約，從而不僅要知道角形成的結果，而且要知道角形成的過程．教學中需要注意板書設計，在原圖的基礎上增加螺旋線這一新元素，可改造靜態定義為動態定義；一方面體現“數學是清楚的、自然的、水到渠成的”，另一方面也展現概念推廣的基本要義，即遵循基礎、增加元素、適當擴容．

·推廣2：引符號

問題5用扳手擰松和擰緊螺絲時，同樣的轉過450°，這樣的兩個角該如何加以區分？將瓶蓋轉動90°角，是旋緊了還是旋松了？

旋轉有方向差異，教師啟發學生，類比實數中的正數、負數，引進正角、負角來區分逆時針旋轉與順時針旋轉；結合圖7中的臺風云圖、水中漩渦圖可以佐證“逆時針為正、順時針為負”的約定俗成．

圖7

定義改造2：按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角．如果射線沒有作任何旋轉，那么也把它看成一個角，叫做零角．帶箭頭的螺旋線既表示角的旋轉量，也指明旋轉方向．

設計意圖數學概念的建立往往有一個不斷深化完善的過程，將角的推廣分解為兩個步驟就是體現過程意識，在“慢”中求“悟”，讓數學概念在“自然”中“生成”．為了有效刻畫現實中的各種角，數學意義上的角不僅區分大小也要辨明方向，類比正數、負數的概念可構建正角、負角的概念.當然，規定逆時針方向旋轉所成的角為正角主要是基于約定俗成(不需要過多解釋)，而螺旋線的解讀可以用圖5適當強化．

·任意角的繪制

圖8

教師在GeoGebra中演示任意角的繪制(如圖8，突出螺旋線的方向和大小)，安排學生在紙上作出480°和-300°的角，同時交流角的具體畫法并比較繪制角的大小．

設計意圖理解任意角的關鍵是建立“數”與“形”的對應聯系，“數”上容易把握，“形”上則需慢慢體會．安排學生作圖的目的在于：一是角的作法中包含運算性質的簡單應用，如480°=360°+120°=120°+360°對應加法交換律，而-300°=60°-360°=-360°+60°則體現小角減大角、減法化加法；二是大小比較(共始邊、看終邊、比大小)的過程中往往隱含著象限角的概念雛形，為下階段的探究作鋪墊．需要注意的是，這里缺少直角坐標系作參照，因此所作角不宜太復雜．

2.3 找尋基準，同化概念

問題6如圖9，如何比較兩個角α和β的大小？除了用量角器等工具度量外，還有什么方案？

學生通過討論得到基本方案“移動α和β的始邊使之重合，進而考察終邊位置關系”．循著學生的思路，教師在GeoGebra中作相應操作，并改變兩角的大小讓學生在不同位置上判斷(有意制造一些麻煩)，啟發學生尋找坐標系為參照(如 圖10，可以一勞永逸)．

問題7將角置于坐標系中后，便有了“統一標準”，能否結合坐標系對角加以恰當的分類？

定義改造3：以角的頂點為坐標原點、始邊為x軸正半軸建立平面直角坐標系，角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角．

設計意圖比較大小的活動設計讓象限角的引進不再“突兀”，而且由此獲得“化角”的直接經驗，即α=α1+m·360°,β=β1+n·360°，其中m,n∈Z，α1,β1均介于0°～360°之間．一方面，將角放在直角坐標系中研究，就有了統一的“基準”，而判斷角所在的象限，可以只管終邊位置不計較旋轉過程；另一方面，判斷任意角α的象限可歸結為判斷基本角α1的象限，為后面同終邊角的學習打好基礎．

2.4 數形聯通，學以致用

例1在平面直角坐標系中，分別作出下列各組角：(1)-120°, 600°；(2)-215°, 585°；(3)-390°, 1 050°．并判斷角的象限．

在學生完成作圖后，教師追問：各組角的終 邊是否相同？如，由-390° = -30° - 360°, 1 050°= -30°+3×360°，可知-390°和1 050°的終邊相同．引導學生列舉其他與-30°同終邊的角，如330°, 690°, 1 410°,從中概括出同終邊角的共同特征，得出下列結論：

一般地，與角α同終邊的角有無數個，構成集合{β|β=α+k·360°,k∈Z}．

設計意圖讓學生學會角的規范表示，尤其是螺旋線大小及方向的標注．作角的前提是化角，即將角表示成“α+k·360°”的形式，如600°=240°+360°=-120°+2×360°，1 050°=-30°+ 3×360°，為同終邊角的學習作必要的樣例準備．在學生作圖的基礎上，教師可在如圖10所示的GeoGebra課件中給出標準圖象(拖動滑動條或者在輸入框中給定)，以作比對．

競猜游戲(以小組為單位計算得分，部分優異小組勝出)：

(1) 一小組出題，給定一組任意角，如650°, -150°, 990°15′;其他小組搶答，找出0°到360°范圍內與之終邊相同的角．

(2) GeoGebra系統自動出題(選定難度系數，隨機給出30°的整倍角)，結合圖象判斷大小(如圖11，可勾選“查看答案”確定正誤)．

圖11

設計意圖通過游戲形式讓學生參與其中，活動(1)側重“數”的化歸，活動(2)指向“數”與“形”的關聯．

2.5 歸納梳理，感悟任意

問題8通過本節課的學習，在知識內容、方法能力等方面，你有怎樣的收獲或體會？

對照板書內容，回顧學習過程，師生共同歸納出下列收獲：

(1) 知識內容：基于數學研究和現象解釋的需要，類比指數冪的推廣將“角”擴容為“任意角”，涉及的重要概念包括任意角(正角，負角，零角)、象限角(終邊所在的象限)、同終邊角(構成集合{β|β=α+k·360°,k∈Z})等，基本路徑如 圖12所示．

圖12

(2) 思想方法：①數形結合，從靜態定義到動態旋轉，“形”的變化帶來“數”的突破(從0°～ 360°到-∞～+∞)；②分類討論，象限角的分類，倍角半角所在象限的判斷(例2)；③類比推理，從指數冪的推廣到角的推廣，從實數的正負到角的正負；④歸納提煉，在函數研究的一般過程的回顧中，明晰角的概念推廣為三角函數研究的前奏．

師生共同擬就一段詩句——“任意角不任意：概念改進轉無限，方向順逆定負正；坐標基準看象限，終邊相同成集合．”

3 回顧與反思

在多數教師眼里，任意角只是簡單尋常內容，容易為學生所接受，考試要求不高，完全可以采用直接告訴或學生自學的尋常方式處理.然而這樣的教學處理下學到的只是顯性的、表面化的知識，深刻的思維方法卻難以揭示，如為什么要推廣角的概念、任意角與“周而復始”現象有著怎樣的關聯、任意角為何要放置于坐標系中研究.本節課通過不尋常的教學處理，幫助學生發現任意角的內在知識邏輯和思維邏輯；因為“簡單內容”最主要的教育價值不在于知識是什么而在于以知識為載體，讓學生體會、理解研究數學問題的思路與方法，體會數學知識是這樣而不是那樣的，其科學性、合理性在哪里，體會創造和建構數學知識的策略與方法．[1]

3.1 厘清邏輯關聯，發現不尋常的基石

三角函數是描述周期性變化規律的數學模型，任意角是三角函數學習的前奏，這是知識本身的邏輯，因此不能撇開函數只言角，否則只是“牽著學生鼻子走”.更進一步地，任意角是一種概念推廣，概念推廣有其內在思維邏輯(可以不言明，但需滲透)，從指數冪的推廣回顧中獲得直接經驗恰有必要，而類比聯想、歸納提煉等正可蘊涵其中．于是創設情境提供先行組織者，將簡單的告訴轉化為學生內在的探究，便是本節課的教學邏輯思路．于尋常之中發現不尋常，需要準確把握教學中的知識邏輯和思維邏輯并據此確立教學邏輯，從而在教學活動中揭示出所教授知識的本質，實現知識教學的教育價值．[2]

3.2 開展可視化教學，發現不尋常的路徑

數學是抽象、不可見的，通過可視化的手段可以讓它變得具象、看得見.如螺旋線的理解是一個教學重點，借助圖7可以認識到這是一種極其自然的表達，而圖8的跟進更讓大小和方向明明白白，事實上，“周而復始”正是在動態旋轉中“深入人心”的．所謂可視化，就是將抽象的事物、過程轉化為圖形圖象等形象化、看得見的呈現.應用豐富多樣的視覺表征手段(圖形、圖象、動畫等)和視覺認知輔助工具(思維導圖、知識地圖等)，以形象直觀的方式呈現數學對象的本質屬性、基本特征及數學對象間的關系網絡，可以幫助學習者更好地理解數學、發現數學、建構數學．GeoGebra作為一款集幾何作圖、代數運算和數據處理于一體的動態數學學科軟件，可以為我們帶來更方便快捷的數學教學.圖11對應的課件發布到網絡(https://www.geogebra.org/m/v4qpnveh)后，學生可以隨時隨地使用任意終端開展實驗探究．

3.3 主動智力參與，發現不尋常的關鍵

數學是玩概念的，讓學生參與概念本質特征的概括過程，在概念的發生發展過程中揭示它的本來面目，無疑是教學成功的關鍵．于是我們需要更好地“讓”學生學，在知識回顧過程中領悟概念推廣的一般方法，在問題引領中發現任意角的數量突破和符號引進，在大小比較中找尋引入象限角的價值意義，在游戲競猜中實現數與形的聯通表征.追求高水平的智力參與，離不開開放靈活的任務驅動和豐富遞進的活動設計，而這些都取決于我們對數學的理解和對教學邏輯的把握．