基于QR分解的線性方程組Ax=b的最小二乘解

陳 佳 余 苗 陶 婷

(成都理工大學管理科學學院 四川 成都 610059)

如今許多應用問題都需要大規模的科學計算和數據處理，這些問題許多時候直接或間接的需要求解如下線性方程組：

Ax=b

用LU分解比Gauss消去法直接求解節省大量計算。但在許多情況下此方程組沒有解，則退而求其次求其最小二乘解。矩陣的QR分解對此有著實際意義的應用。

一、矩陣QR分解的三種方法[1][2][3]

定義1 設A∈Cn×n，如果存在n階酉矩陣Q和n階上三角矩陣R，使得A=QR，則稱此分解為A的QR分解(或酉三角分解)。當A∈Rn×n時，稱為A的正交三角分解。

(一)Gram-Schmidt正交化方法QR分解

定理1 任何實(復)n階非奇異矩陣可分解為正交(酉)矩陣Q和實(復)的非奇異上三角矩陣R的乘積，且A=QR分解唯一。

證明：存在性 矩陣A的列向量線性無關，寫為α1，α2…αn，將其正交規范化為q1，q2…qn。令Q=(q1q2…qn)為正交(酉)矩陣。

(二)Givens變換法QR分解[4]

定理2 任意n階非奇異矩陣A=(aij)可通過左連乘有限個初等旋轉矩陣化為上三角矩陣。

由上可知，A=(Tn-1,n…T12)-1A(n-1)，令Q=(Tn-1,n…T12)-1，因旋轉矩陣Tij為正交矩陣，所以Q是正交矩陣，R=A(n-1)則A=QR是矩陣A的QR分解。

(三)Householder變換法QR分解

定義3 設單位列向量ω∈Cn，稱矩陣：H=I-2ωωH為Householder矩陣，稱由Householder矩陣確定的線性變換為Householder變換。

定理3 Householder變換可使任意非零向量ξ變成與給定單位向量γ同方向的向量η

二、基于QR分解的Ax=b最小二乘解[6]

QR分解可用于解線性方程組Ax=b的最小二乘解，設A=QR，則原方程組化為QRx=b，由于Q是正交矩陣，則求上述方程組最小二乘解就是求Rx=QTb的最小二乘解。