一種基于固定截距多元線性回歸的渦輪葉片冷卻效果經驗公式推導方法

呂 頌，鄭旭東，曹智順，張聯合

(中國航發沈陽發動機研究所強度試驗研究室，沈陽 110015)

隨著航空發動機推重比的增加，渦輪的進口溫度也隨之上升，據相關資料顯示，推重比10級發動機的渦輪進口溫度已達到1 850～1 950 K，推重比15級發動機的渦輪進口溫度將達到2 200～2 300 K[1-6]。如此高的溫度等級將對渦輪葉片的內部冷卻結構形式提出更為嚴格苛刻的要求。影響渦輪葉片冷卻性能的因素有多個，常見的為燃氣與冷氣溫度比、冷氣與燃氣流量比、燃氣雷諾數、燃氣落壓比及氣膜孔偏角等。中國相關研究人員分別從數值模擬[7-11]及試驗驗證[12-13]的角度對各因素的影響情況進行了對比分析，并通過對試驗數據進行回歸分析擬合出合適的經驗公式。不過目前大多數經驗公式的擬合方法均為單因素回歸分析方法，未考慮到多種因素同時作用的結果，這與客觀事實不相符。

在回歸分析中，有兩個或兩個以上的因素，稱為多元回歸。關于這方面的研究已有大量報道[14-16]。在中國，多元線性回歸分析方法已應用到多個領域，如石油行業[17]、地質勘察行業[18]、民航交管行業[19]。特別是在航空發動機整機振動方面也有應用[20]，但在其地面零部件試驗條件下的應用還是空白。選取對渦輪葉片冷卻性能諸多影響因素中最為常見的3個因素(冷氣與燃氣流量比KG、燃氣與冷氣溫比KT和燃氣雷諾數Reg)，展示了一種更適用的固定截距多元線性回歸分析方法，填補了相關研究領域的空白。

1 冷卻效果試驗經驗公式理論基礎

渦輪葉片的氣膜冷卻準則可以表示為

(1)

θ=f(Reg,KT,KG)

(2)

實際的工程試驗研究中采用控制變量的方式開展，即在保證其他設計點參數不變的前提下，分別改變溫比KT、流量比KG及燃氣雷諾數Reg獲得相關試驗條件下的數據點，再進行經驗公式擬合及回歸分析。

2 回歸分析的理論基礎

回歸分析法是在方差分析法的基礎上發展起來的，是指利用數據統計原理，對大量統計數據進行數學處理，并確定因變量與某些自變量的相關關系，建立一個相關性較好的回歸方差，即函數表達式，并加以外推，用于預測今后因變量變化的分析方法。一般分為單因素回歸分析(一元回歸分析)和多因素回歸分析(多元回歸分析)，其最終目標就是利用(偏)最小二乘法給出殘差平方和最小的擬合公式。

2.1 單因素非線性回歸分析

單因素非線性回歸分析(一元非線性回歸分析)的理論基礎如下，假設曲線回歸模型的非線性目標函數為

y=f(x)

(3)

式(3)中：x為因素變量；y為響應變量。

通過某種數學變化式(4)使之線性化為一元線性函數式(5)，繼而利用線性最小二乘法估計出參數a和b。

(4)

v=a+bu

(5)

式中：v為響應變量的線性變換函數；u為因素變量的線性變換函數。

用一元線性回歸方程式(6)來描述v與u間的統計規律性，然后再用逆變換式(7)還原為目標函數形式的非線性回歸方程。

(6)

(7)

2.2 多元線性回歸分析

多元線性回歸分析的理論基礎如下：設隨機變量與一組(k個)變量x1,x2,…,xk有關系式：

y=β0+β1x1+…+βkxk+ε

(8)

式(8)中：β0,β1,…,βk為未知參數；ε為隨機項，服從正態分布N(0,σ2)。如果(y1;x11,x21,…,xk1)，(y2;x12,x22,…,xk2)，…,(yn;x1n,x2n,…,xkn)是一個容量為n的樣本，則有：

(9)

式(9)中：β0,β1,…,βk為未知參數；ε1,ε2…,εn為隨機項，服從正態分布N(0,σ2)。

(10)

3 固定截距多元線性回歸分析公式推導

在多元線性回歸分析理論基礎上，發展了一種固定截距多元線性回歸分析方法。為便于理解，以渦輪葉片冷卻效果試驗經驗公式為例進行推導。工程上其一般形式為

(11)

式(11)中：A為系數，對式(1)進行線性化得:

lnθ=lnA+αlnKG+βlnKT+γlnReg

(12)

試驗中得到的數據點空間分布如圖1所示，從圖1中可以看出，3條數據線均經過設計狀態數據點，即三次試驗均在設計狀態下進行了采樣。因此對其取平均值得到的設計狀態處的試驗數據相對于其他試驗數據更加準確，因此有理由認為擬合出的經驗公式應經過設計狀態處試驗數據點。

圖1 試驗數據點空間分布

假設通過取平均值得到的設計狀態試驗數據點為(KG1,KT1,Reg1;θ1)，將其代入式(12)可得式(13):

lnθ1=lnA+αlnKG1+βlnKT1+γlnReg1

(13)

對式(13)變形可得：

lnA=lnθ1-αlnKG1-βlnKT1-γlnReg1

(14)

將式(14)代入式(12)，整理可得：

lnθ=lnθ1+α(lnKG-lnKG1)+β(lnKT-lnKT1)+γ(lnReg-lnReg1)

(15)

按照式(10)的形式利用偏最小二乘法求出各冪參數的估計值：

(16)

式(16)中：固定截距為設計狀態試驗數據平均冷卻效果的對數值lnθ1。

4 回歸分析應用結果對比

以某渦輪葉片冷卻效果試驗為例，該試驗包括變流量比-冷效關系試驗(試驗1)、變溫比-冷效關系試驗(試驗2)與變主流雷諾數-冷效關系試驗(試驗3)。每個試驗過程中均設置8個特定工況狀態，得到試驗1中8個工況下的流量比與冷卻效果數據概率密度分布如圖2、圖3所示，試驗2中8個工況下的溫比與冷卻效果數據概率密度分布如圖4、圖5所示，試驗3中8個工況下的雷諾數與冷卻效果數據概率密度分布如圖6、圖7所示。

圖2 試驗1中流量比數據概率密度分布

圖3 試驗1中冷卻效果數據概率密度分布

圖5 試驗2中冷卻效果數據概率密度分布

從圖2～圖7可以看出，流量比參數、溫比參數、雷諾數參數及冷卻效果參數等測量值的分布均近似為正態分布，故可以應用回歸分析的方法進行數據分析操作。

圖7 試驗3中冷卻效果概率密度分布

4.1 單因素非線性回歸分析應用

該種方法是分別對試驗1、試驗2和試驗3進行單因素非線性回歸得到冪參數，在將設計點參數代入式(11)中求得系數A，操作如下。

試驗1得到的擬合公式，如式(17)所示：

(17)

其方差分析如表1所示。

表1 試驗1中方差分析

試驗2得到的擬合公式，如式(18)所示:

(18)

其方差分析如表2所示。

表2 試驗2中方差分析

試驗3得到的擬合公式，如式(19)所示:

(19)

其方差分析如表3所示。

表3 試驗3中方差分析

因此該方法得到的冷卻效果綜合經驗公式:

(20)

4.2 常規多元線性回歸分析應用

該方法是對試驗1、試驗2和試驗3下所有的數據參數同時進行常規多元線性回歸得到冪參數和系數，該方法得到的冷卻效果綜合經驗公式如式(21)，相關回歸分析結果如表4所示。

表4 常規多元線性回歸分析結果

(21)

4.3 固定截距多元線性回歸分析應用

該方法是保證擬合公式經過設計點數據的前提下，對試驗1、試驗2和試驗3下所有的數據參數同時進行固定截距的多元線性回歸得到冪參數和系數，該方法得到的冷卻效果綜合經驗公式如式(22)所示：

(22)

相關回歸分析結果如表5所示。

表5 固定截距多元線性回歸分析結果

4.4 各方法對比

單因素回歸分析方法沒有全面考慮3個因素同時作用下對冷卻效果參數的影響，無法進行綜合的方差分析，因此其擬合公式可信度較差，不建議采用。

常規多元線性回歸分析方法與固定截距多元線性回歸分析方法都綜合考慮了3個因素同時作用下對冷卻效果參數的影響，不過考慮到試驗方法、設計狀態數據與其他狀態數據相比的準確程度及狀態數據點在空間中的分布情況(圖1)，顯然后者方法更適用。從分析結果來看運用固定截距方法雖然殘差平方和稍高，但確定系數R更高，公式擬合結果更令人滿意。

對比表4、表5中t的絕對值還可以發現，兩種回歸分析方法下3個因素對冷卻效果的影響程度排序不同，固定截距方法分析的結果與實際情況符合程度更高。

5 結論

通過三種回歸方法的對比分析，得到以下結論。

(1)對于渦輪葉片冷卻效果試驗的經驗公式擬合與回歸分析來說，提出的基于固定截距的多元線性回歸分析方法更適合于現階段的試驗方法，其分析擬合結果更可靠，更符合實際情況。

(2)從分析結果來看，3個因素對冷卻效果的影響程度從大到小依次為流量比KG、溫比KT、燃氣雷諾數Reg。

(3)在對試驗數據進行回歸分析及經驗公式擬合的過程中，若某一個或某幾個狀態數據點的準確程度相當可靠，則可以采用該固定截距的多元線性回歸分析方法進行分析。