非均勻應(yīng)力場(chǎng)下圓形隧洞圍巖彈性應(yīng)力分析

陳登國(guó)，高召寧，李順順

(安徽理工大學(xué)能源與安全學(xué)院，淮南 232000)

隨著隧洞工程不斷地發(fā)展，各種復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造影響著隧洞圍巖的穩(wěn)定性。在長(zhǎng)期的理論和實(shí)踐研究中，許多專家和學(xué)者認(rèn)為在隧洞開挖或掘進(jìn)后，圍巖由原來(lái)平衡狀態(tài)的三維應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槎S應(yīng)力狀態(tài)，圍巖應(yīng)力重新分布[1]。同時(shí)也使得圍巖發(fā)生彈性和塑性變形，進(jìn)一步引起隧洞圍巖產(chǎn)生變形甚至破壞[2-3]。對(duì)于軸對(duì)稱荷載隧洞圍巖的分析，一些學(xué)者也做了研究。文獻(xiàn)[4]根據(jù)雙剪強(qiáng)度理論推導(dǎo)了均勻應(yīng)力場(chǎng)下圓形隧洞圍巖中的解析解，其結(jié)論與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則對(duì)比，更符合現(xiàn)場(chǎng)的工程實(shí)際；文獻(xiàn)[5]根據(jù)數(shù)值模擬軟件,對(duì)隧洞的設(shè)計(jì)與開挖過(guò)程進(jìn)行了模擬驗(yàn)證。文獻(xiàn)[6]基于俞茂宏統(tǒng)一強(qiáng)度理論和三線性應(yīng)力應(yīng)變軟化模型計(jì)算了圓形洞室圍巖的統(tǒng)一解析解。而在實(shí)際工程中，隧洞圍巖荷載分布呈現(xiàn)非軸對(duì)稱特征。文獻(xiàn)[7]研究了不同側(cè)壓力系數(shù)情況下以及考慮圍巖的軟化和擴(kuò)容條件對(duì)圍巖的穩(wěn)定性分析，并驗(yàn)證了其結(jié)果的正確性。文獻(xiàn)[8]研究在不等壓情況下塑性區(qū)分布的近似解，分析圍巖的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]研究了非軸對(duì)稱荷載滑動(dòng)失穩(wěn)破壞模型，分析了巷道巖體的整體穩(wěn)定性。

因此，在已有研究成果的基礎(chǔ)上，在圍巖處于極限平衡狀態(tài)條件下，分析了非均勻應(yīng)力場(chǎng)下圓形隧洞圍巖內(nèi)彈性應(yīng)力分布。由于側(cè)壓系數(shù)λ<1/3時(shí)，隧洞拱頂將出現(xiàn)拉應(yīng)力，為防止隧洞圍巖出現(xiàn)失穩(wěn)狀態(tài)，工程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該盡量避免[10]。因此探討1/3≤λ<1的范圍對(duì)隧洞圍巖穩(wěn)定具有實(shí)際的工程意義，結(jié)合Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)了非均勻應(yīng)力場(chǎng)下圓形隧洞圍巖內(nèi)彈性區(qū)應(yīng)力分布的解析解，分析不同主應(yīng)力系數(shù)和側(cè)壓系數(shù)對(duì)隧洞圍巖應(yīng)力解的影響。

1 圍巖變形特征研究

對(duì)于隧洞圍巖的變形特征分析一直以來(lái)都被視為控制隧洞圍巖穩(wěn)定的關(guān)鍵因素。圖1為隧洞圍巖應(yīng)力分布。

r0為隧洞的半徑，m；p0為初始地應(yīng)力，MPa；σθ為切向應(yīng)力，MPa；σr為徑向應(yīng)力，MPa，λ為側(cè)壓系數(shù)

隧洞開挖前，巖體處于三向壓應(yīng)力下的平衡原始巖體彈性狀態(tài)，如果側(cè)壓力系數(shù)在λ=1情況下，此時(shí)隧洞圍巖表面處(r=r0)徑向應(yīng)力σr為0，切向應(yīng)力σθ為原巖應(yīng)力的2倍。由于應(yīng)力與r/r0成正比，隨著r/r0的減小，σr與σθ均迅速的接近原巖應(yīng)力p0[11]。

假設(shè)深埋隧洞的水平荷載對(duì)稱于豎軸，豎向應(yīng)力對(duì)稱于橫軸；豎向?yàn)閜0、橫向?yàn)棣藀0。由于結(jié)構(gòu)本身對(duì)稱，故可以通過(guò)疊加原理解決，將荷載分解為兩部分疊加，如圖2所示。

pi為初始支護(hù)阻力，MPa

2 隧洞圍巖彈塑性分析

2.1 基本假設(shè)和解題條件

假設(shè)如下：①圓形隧洞無(wú)限長(zhǎng)；②原巖為理想彈塑性體；③原巖為不可壓縮材料；④隧洞埋深大于20倍隧洞半徑。

以Drucker-Prager系列準(zhǔn)則作為隧洞圍巖彈塑性屈服條件，結(jié)合非均勻應(yīng)力場(chǎng)分析隧洞圍巖的彈性應(yīng)力分布。Drucker-Prager準(zhǔn)則是在Mises屈服準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，對(duì)巖土材料考慮平均應(yīng)力I1。其屈服函數(shù)為[12]

(1)

I1=σθ+σz+σr

(2)

J2=[(σθ-σz)2+(σz-σr)2+

(σr-σθ)2]/6

(3)

在隧洞周邊圍巖中，由于隧洞斷面上的徑向應(yīng)力σr、切向應(yīng)力σθ和隧洞軸向應(yīng)力σz兩兩正交，且一般σθ最大、σr最小，主應(yīng)力次序?yàn)棣姚取荭襷≥σr，于是可認(rèn)為3個(gè)主應(yīng)力的大小為σ1=σθ，σ2=

σz，σ3=σr。在實(shí)際工程中通常中間主應(yīng)力系數(shù)b與中主應(yīng)力σ2與最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3的關(guān)系則有：

(4)

由式(4)得：

σz=bσθ+(1-b)σr

(5)

將式(5)代入式(2)、式(3)中，將其轉(zhuǎn)化為σθ+σr、σθ-σr和b的關(guān)系：

(6)

a2(σθ-σr)

(7)

(a-bα-α)σθ-(a-bα+2α)σr-k=0

(8)

整理可得到的D-P系列準(zhǔn)則表達(dá)式為

(9)

用統(tǒng)一屈服方程表示為

σθ=Mσr+N

(10)

2.2 彈性區(qū)應(yīng)力

根據(jù)圍巖的受力分布特點(diǎn)可知，將圖2圍巖荷載看成兩部分的疊加：①四周均布?jí)毫?1+λ)p0/2；②左右均勻分布拉力(λ-1)p0/2和上下兩邊均勻分布?jí)毫?1-λ)p0/2。對(duì)上述兩部分求解然后進(jìn)行疊加，可得到非均勻應(yīng)力分布下的應(yīng)力分量。

對(duì)于四周均布?jí)毫ψ饔孟拢瑵M足靜力平衡方程式：

(11)

將式(10)代入式(11)求得微分方程：

(12)

式中：σr1為第一部分徑向應(yīng)力；C為積分常數(shù)，由邊界條件確定。

(13)

由式(10)、式(12)可得隧洞圍巖應(yīng)力：

(14)

式(14)中：σθ1為第一部分切向應(yīng)力。

假設(shè)在第二部分左右兩邊均布拉力(λ-1)p0/2和上下兩邊均布?jí)毫?1-λ)p0/2作用下，兩側(cè)受壓，兩側(cè)受拉應(yīng)力場(chǎng)。在r→∞時(shí)，外邊界條件為

(15)

式(15)中：τrθ為剪應(yīng)力。

而在圓環(huán)邊界處的條件σr|r=r0=0,τrθ|r=r0=0,假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

φ=f(r)cos2θ

(16)

由邊界條件并結(jié)合半逆解和雙協(xié)調(diào)方程可以解得[14]：

(17)

式(17)中：σr2為第二部分徑向應(yīng)力；σθ2為第二部分切向應(yīng)力。

將式(14)、式(17)兩部分應(yīng)力分量疊加，得到非均勻應(yīng)力作用下隧洞圍巖全應(yīng)力解，如式(18)所示：

(18)

由文獻(xiàn)[9]可知，切爾西(Kirsch)解。式(19)所示：

(19)

3 算例分析

為了進(jìn)一步研究非均勻應(yīng)力場(chǎng)對(duì)隧洞圍巖穩(wěn)定性分析的影響，以云南高黎貢山隧洞為背景，其所處圍巖各參數(shù)如下：r0約為3.5 m，p0約為15 MPa，pi=1.8 MPa，c為2 MPa，內(nèi)摩擦角φ為30°。將上述參數(shù)代入式(18)、式(19)計(jì)算。

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，代入式(17)，計(jì)算可得：

(20)

式(20)與文獻(xiàn)[15]軸對(duì)稱下的Drucker-Prager準(zhǔn)則所計(jì)算的結(jié)果一致。

(2)當(dāng)λ≠1，r=r0時(shí)，初始支護(hù)阻力為pi，隧洞周邊的應(yīng)力分布σr=pi。

為了研究中間主應(yīng)力系數(shù)b與θ、側(cè)壓系數(shù)λ三者之間的關(guān)系，現(xiàn)取中間主應(yīng)力系數(shù)b分別為0.2、0.5、0.8，結(jié)合式(18)可得到中間主應(yīng)力系數(shù)b與θ、λ之間的關(guān)系，如圖3所示。由圖3可知，在(330°，30°)和(150°，210°)的范圍內(nèi)，隨著中間主應(yīng)力系數(shù)b的增大，對(duì)應(yīng)的側(cè)壓系數(shù)范圍減小。而且，中間主應(yīng)力系數(shù)和側(cè)壓系數(shù)兩者之間的關(guān)系相互影響，因此在兩者間的協(xié)調(diào)作用下也能夠更好地反映出隧洞圍巖應(yīng)力的大小。隧洞圍巖的在側(cè)壓系數(shù)以及中間主應(yīng)力系數(shù)影響下，可以選擇有效且合理的支護(hù)措施，避免塌方的出現(xiàn)。

圖3 中間主應(yīng)力系數(shù)b與θ、λ之間的關(guān)系

為了研究σθ、θ、λ三者之間的關(guān)系，中間主應(yīng)力系數(shù)b分別取為0.2、0.5、0.8，結(jié)合式(18)和式(19)可知可得到σθ與θ及λ三者之間的關(guān)系，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)λ-1時(shí)，可以得到關(guān)于隧洞圍巖表面處切向應(yīng)力σθ與θ、λ之間的關(guān)系，如圖4所示。由圖4可知：對(duì)于考慮中間主應(yīng)力系數(shù)b不同時(shí)，在相同的θ及λ下，切向應(yīng)力σθ會(huì)隨著b的增大而增大，但總體增加的幅度較小，而且切爾西解的曲面始終大于不同中間主應(yīng)力系數(shù)b對(duì)應(yīng)下的曲面解。當(dāng)θ在一定范圍變化時(shí)，不同中間主應(yīng)力系數(shù)b對(duì)應(yīng)的曲面中σθ隨著側(cè)壓系數(shù)λ不斷增大而增大，σθ逐漸由負(fù)值變成正值。

圖4 隧洞圍巖表面處σθ與θ及λ之間的關(guān)系

為了分析當(dāng)θ= 90°時(shí)垂直應(yīng)力σθ與θ及λ三者之間的關(guān)系，中間主應(yīng)力系數(shù)b分別取為0.2、0.5、0.8，結(jié)合式(18)、式(19)可得到σθ與θ及λ三者之間的關(guān)系，如圖5所示。由圖5可知，在相同的側(cè)壓系數(shù)下，切爾西解曲面隨著距隧洞中心距離r增大σθ緩慢減小，在距隧洞中心距離r一定時(shí)，σθ隨著側(cè)壓系數(shù)λ的變化較小。而對(duì)于3個(gè)不同中間主應(yīng)力系數(shù)b的曲面，從整個(gè)曲面來(lái)看中間主應(yīng)力系數(shù)越大，對(duì)應(yīng)曲面σθ越小，而且總體的變化規(guī)律相同。在隧洞圍巖表面處σθ最大，隨著距隧洞中心距離r的變大，σθ減小，最終σθ逐漸趨于原巖應(yīng)力。由圖5可知，切爾西解曲面與其他3組曲面有交線，在實(shí)際工程中可通過(guò)曲面之間的交線，判斷λ與σθ之間的關(guān)系找到最優(yōu)解。根據(jù)式(18)計(jì)算出切向正應(yīng)力σθ，得到更加合理經(jīng)濟(jì)的結(jié)果。

圖5 θ=90°時(shí)，σθ與r、λ之間的關(guān)系

4 隧洞圍巖不同側(cè)壓系數(shù)演化特征數(shù)值分析

為了能夠加準(zhǔn)確地分析側(cè)壓系數(shù)λ和中間主應(yīng)力系數(shù)b對(duì)隧洞圍巖的影響，采用FLAC3D數(shù)值模擬軟件結(jié)合Drucker-Prager模型對(duì)隧洞圍巖應(yīng)力演化特征進(jìn)行數(shù)值模擬研究。模型尺寸沿X、Y、Z方向?yàn)?0 m×30 m×50 m，其中X為隧洞斷面的水平方向，Y為沿隧洞軸向的水平方向，Z為隧洞垂直方向，為了便于數(shù)值模擬的研究，結(jié)合文獻(xiàn)[16]取b=0.5。邊界條件設(shè)置上表面為自由表面，其余邊界采用法向固定約束。當(dāng)模型取的足夠大，超過(guò)隧洞半徑的10倍以上時(shí)，邊界效應(yīng)倍消除[17]，建立了如圖6所示模型。

圖6 數(shù)值計(jì)算模型

由圖7可知，對(duì)不同的側(cè)壓系進(jìn)行數(shù)值模擬，分析不同側(cè)壓系數(shù)對(duì)隧洞圍巖垂直應(yīng)力的影響。同時(shí)在Drucker-Prager準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，考慮了不同的中間主應(yīng)力系數(shù)b對(duì)隧洞圍巖的影響。當(dāng)中間主應(yīng)力系數(shù)b不取定值時(shí)，由上述圖3可知，b的大小與側(cè)壓系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)b增大時(shí)，側(cè)壓系數(shù)對(duì)應(yīng)的范圍也會(huì)有所減小。由7圖可知，分別對(duì)不同的側(cè)壓系數(shù)進(jìn)行了數(shù)值模擬，當(dāng)λ較小時(shí)，對(duì)于隧洞的拱頂和底部，所產(chǎn)生的應(yīng)力遠(yuǎn)小于原巖應(yīng)力，且隨著λ的增大，隧洞的拱頂和底部的應(yīng)力也會(huì)明顯的增加。但對(duì)于隧洞的幫部，則是隨著λ的增大，隧洞幫部應(yīng)力逐漸的減小。當(dāng)λ=0.4時(shí)隧洞兩幫表面圍巖的切向應(yīng)力約為原巖應(yīng)力的2.43倍，應(yīng)力較大且較為集中，對(duì)隧洞的穩(wěn)定性極為不利。當(dāng)側(cè)壓系數(shù)λ不斷地增大時(shí)切向應(yīng)力逐漸減小，最終在λ=1時(shí)，可看出切向應(yīng)力恢復(fù)到約為原巖應(yīng)力的2倍，符合理論分析的結(jié)果。分析可知，若中間主應(yīng)力系數(shù)b不取定值時(shí)，由b和λ之間的線性關(guān)系，結(jié)合隧洞的幫部、底部和拱頂之間的變化趨勢(shì)，可以選擇合理的中間主應(yīng)力系數(shù)b的大小確定隧洞圍巖的應(yīng)力，使得支護(hù)的效果更好，更加經(jīng)濟(jì)。

圖7 θ= 90°時(shí)不同側(cè)壓系數(shù)應(yīng)力分布

由圖8可知，分析了不同側(cè)壓系數(shù)下的最大主應(yīng)力。從圖8可以看出，隧洞開挖后在不同的側(cè)壓系數(shù)下圍巖的切向應(yīng)力發(fā)生局部集中，在隧洞兩幫集中比較明顯。隨著側(cè)壓系數(shù)不斷地增大，隧洞圍巖在兩幫集中的應(yīng)力不斷的減小，隧洞周邊受到的應(yīng)力更加均勻。當(dāng)側(cè)壓系數(shù)λ=1時(shí)，隧洞表面的圍巖應(yīng)力接近原巖應(yīng)力的2倍。隨著距隧洞中心的距離不斷增大，切向應(yīng)力最終趨于了原巖應(yīng)力。λ=1時(shí)，由圖8最大主應(yīng)力云圖和圖5的應(yīng)力曲面圖可知，當(dāng)中間主應(yīng)力系數(shù)b=0.5時(shí)，在隧洞圍巖表面處二者的切向應(yīng)力曲面圖所得到的結(jié)果基本一致，約為原巖應(yīng)力的2倍。

圖8 最大主應(yīng)力云圖

5 結(jié)論

對(duì)非均勻應(yīng)力場(chǎng)下圍巖應(yīng)力的分析，得出以下結(jié)論。

(1)在基于Drucker-Prager準(zhǔn)則的非均勻應(yīng)力場(chǎng)下，深埋隧洞圍巖彈性區(qū)應(yīng)力分布是由軸對(duì)稱和非軸對(duì)稱共同疊加作用的結(jié)果，通過(guò)構(gòu)建力學(xué)模型，分別求出兩者的應(yīng)力并進(jìn)行疊加，推導(dǎo)出隧洞彈性區(qū)應(yīng)力場(chǎng)解析表達(dá)式。

(2)基于Drucker-Prager準(zhǔn)則作用與中間主應(yīng)力系數(shù)下的非均勻應(yīng)力場(chǎng)圓形隧洞的應(yīng)力分布解析解與切爾西應(yīng)力解做出比較，由理論分析可知：考慮中間主應(yīng)力系數(shù)的隧洞圍巖表面處的應(yīng)力明顯比切爾西的應(yīng)力降低，且隨著中間主應(yīng)力系數(shù)b減小，隧洞圍巖表面應(yīng)力也減小。

(3)由分析可知，在(330°，30°)及(150°，210°)圍巖范圍內(nèi)隨著中間主應(yīng)力系數(shù)的增大，所對(duì)應(yīng)的側(cè)壓系數(shù)范圍減小。

(4)通過(guò)FLAC3D數(shù)值模擬非均勻應(yīng)力下不同側(cè)壓系數(shù)對(duì)隧洞圍巖的影響，可知側(cè)壓系數(shù)越大，隧洞幫部集中應(yīng)力會(huì)降低，拱頂?shù)募袘?yīng)力增大和理論分析的結(jié)果基本一致。