不同時間尺度下凍融灌區地下水埋深CAR模型優選

李仙岳 崔佳琪 史海濱 孫亞楠 邢進平

(1.內蒙古農業大學水利與土木建筑工程學院， 呼和浩特 010018；2.河套灌區永濟灌域管理局， 巴彥淖爾 015000)

0 引言

地下水作為人類賴以生存的水資源，特別是在我國西北干旱地區，在維持區域社會經濟和生態可持續發展方面起到重要作用[1-2]。由于氣候變化、不合理的農業灌溉、排水不暢等因素，導致部分區域地下水位超過臨界水位，土壤鹽堿化問題突顯[3]，影響了灌區生態環境的健康發展和農業的可持續發展。另外，一些區域由于大規模節水改造工程的實施，導致地下水位下降，從而使作物利用地下水量下降、灌溉水量增加[4]。準確預測灌區地下水埋深對于農田灌溉研究以及灌區合理用水都具有重要意義[5]。由于地下水埋深受自然條件和人類活動雙重作用的影響，其變化過程非常復雜[6]。

目前，對地下水位預測的研究方法較多，主要包括基于物理模型的數值模擬和基于數據驅動的機器學習算法[7]。其中，數值模擬主要是基于MODFLOW、FEFLOW等模型進行的各種地下水動態模擬。如楊洋等[8]應用MODFLOW模型對井渠結合后內蒙古河套灌區地下水動態變化進行模擬，并進行了驗證；楊廣等[9]基于MODFLOW模型對瑪納斯河流域下游地下水位進行了預測，發現通過調整種植結構可減少地下水開采量，以減少地下水負均衡量；LI等[10]應用FEFLOW模型對黑河流域綠洲水文過程進行模擬，結果表明，在現狀和節水措施下，未來10年的地下水位將持續下降。數值模擬方法對邊界條件、水文地質參數等要求嚴格，參數較難獲取，而且由于邊界及含水層的設置不當容易導致預測精度降低、模擬失真等[11-12]。

地下水預測的機器學習算法主要基于BP神經網絡[13-14]、灰色系統模型[15]、支持向量機[16]、馬爾科夫鏈[17-18]等模型，這些模型各具特點，且不需要各類物理參數，因此在不同學科中均得到了廣泛應用。但這些預測模型的建模方法要求時間序列具有平穩性、獨立性和正態性，如果時間序列過于復雜，則得到的預測結果不精確。多變量時間序列CAR(Controlled auto-regressive)模型結合了回歸分析和一維時間序列分析兩種方法的優點，能夠較好地模擬和預報，避免了因處理復雜時間序列而引起的誤差。目前已廣泛用于水文領域的徑流、水量及人口增長、氣候變化趨勢等預測上[19-24]。管孝艷等[25]基于時間序列CAR模型對河套灌區沙壕渠灌域地下水埋深進行了預測，預測效果良好，證明該模型具有較好的適用性。ZENG等[26]基于多變量時間序列建立了洞庭湖地區地下水資源預測模型，并對不同方案下的地下水資源量進行了預測。YAO等[27]基于CAR模型預測了氣候變化及人類活動對艾比湖流域3條河流年徑流量的影響，其中博爾塔拉河和徑河的年徑流量呈增加趨勢，而奎屯河呈輕微減少趨勢。另外，基于多變量時間序列模型和其他模型的耦合使用也得到了廣泛應用。如張展羽等[28]基于主成分分析與多變量時間序列進行耦合，對濟南市陡溝灌區的地下水位進行預測，結果表明，適當引入地表水灌溉和減少地下水開采，灌區地下水位將逐步回升；MANZIONE等[29]基于時間序列結合地質統計學構建了隨機模型，用于巴西東南部Guarani含水層出露地區的地下水位預測，為地下水管理提供了重要決策依據。

多變量時間序列模型在地下水預測中得到了廣泛應用，但北方灌區冬季氣溫低，存在凍融期，如河套灌區有超過5個月的凍融期，凍融期內地下水埋深受到氣溫的約束[30]，所以采用年尺度數據源構建CAR模型勢必會忽略凍融造成的誤差，而采用月尺度數據源構建CAR模型又難以刻畫引水等因素的滯后效應，同時在凍融地區CAR模型中是否增加氣溫這個輸入變量也會對預測結果產生影響。目前針對凍融區基于不同時間尺度數據源CAR模型的地下水預測研究較少。本文以河套灌區永濟灌域為研究對象，研究不同時間尺度(月、季、年)數據源，并考慮不同影響因子輸入變量，應用多變量時間序列CAR模型進行地下水動態變化預測，并對其差異性進行分析，優選適合凍融灌區的CAR地下水預測模型，以期為該凍融灌區地下水的準確預測提供理論依據。

1 材料與方法

1.1 研究區概況

永濟灌域(107°13′～107°42′E，40°36′～41°13′N)地處河套灌區中部，蒸發強烈、干燥少雨、日溫差大、日照時間長，年平均降水量133 mm，年平均蒸發量2 327 mm，蒸發量是降水量的10～16倍，年平均氣溫7.5～9.7℃，屬于典型的溫帶大陸性干旱、半干旱氣候。農業用水幾乎全部引于黃河水，1999—2017年引黃水量在7.4～10.5億m3之間。灌域地形西南高，東北低，地下水總的流向自西向東，大部分的淺層地下水靠灌域內數條自南而北的排水干渠匯入北部由西向東的總排水干渠，然后再經總排水干渠流入東部的烏梁素海，地下水的運動以垂直交替為主。地下水的主要補給來自引黃的入滲補給，其次為降水入滲補給。蒸發消耗為灌域主要排泄途徑，地下水循環屬于典型的入滲-蒸發類型。11月下旬至翌年4月為灌域的凍融期，凍結至融通歷時180 d。按水文地質特點灌域內水文地質結構分為第一含水層組和第二含水層組。第二含水層組埋深較大，與外界水量交換較少，且以咸水為主，不宜開采利用，故本文以第一含水層組為研究對象。

1.2 數據采集和處理

在永濟灌域內共布設了44眼長期地下水觀測井(圖1)，采用人工法在每月1、5、11、21、26日測地下水位埋深，并在干渠設流量日監測點，數據來源于永濟灌域管理局，監測時間為1999—2017年。氣象數據來源中國氣象科學數據共享網(http:∥data.cma.cn/)，包括1999—2017年逐月平均氣溫、逐月累計降雨量、逐月累計水面蒸發量。

圖1 永濟灌域地下水采樣點分布Fig.1 Distribution of groundwater sampling points in Yongji irrigation field

2 基于多變量時間序列CAR的地下水預測模型

2.1 CAR模型建模原理

多變量時間序列CAR模型主要采用遞推最小二乘法進行模型參數評估的方法建模[31-32]。由m個輸入變量和1個輸出變量組建成n階CAR模型，其形式為

yt=a1yt-1+a2yt-2+…+anyt-n+b10x1,t+b11x1,t-1+…+b1nx1,t-n+b20x2,t+b21x2,t-1+…+b2nx2,t-n+…+bm0xm,t+bm1xm,t-1+…+bmnxm,t-n+εt

(1)

式中 {an}、{bmn}——系數，其中m為正整數，n為非負整數

t——時間序列編號，t>n

yt——輸出變量

xm,t-n——輸入變量

εt——殘差

2.2 CAR模型建模步驟

(1)CAR模型的參數估計

采用遞推最小二乘法參數估計

θ=[a1,a2,…,an;b10,b11,…,b1n;b20,b21,…,b2n]Tzt=[yt-1,yt-2,…,yt-n;x1,t-0,x1,t-1,…,x1,t-n;x2,t-0,x2,t-1,…,x2,t-n]T

則CAR模型的一般形式可以寫為

(2)

根據式(2)，在時刻t，θ的遞推最小二乘估計值為

(3)

式中β——遺忘因子，一般取0.9～1.0

I——單位矩陣

參數Pt初值為λI，其中λ取104，則可利用N組觀察值得到的CAR(n)模型計算殘差平方和

(4)

(2)CAR模型最高階n的判定

根據已知的N樣本(xj,t,yt)(t=1,2,…,N;j=1,2,…,m)，由低階到高階遞增地對系統進行擬合，并且依次對相鄰的兩個CAR模型采用F檢驗的方法判斷模型階次增加是否合適，得出合適的CAR模型。

(5)

取置信度α=0.05，大均方自由度為m，小均方自由度為N-mn-(m+1)，求出相應的臨界值Fα。若F

(3)CAR模型真實階及時滯的檢驗

為避免以上步驟后某些參數可能為0，對CAR(n)模型中某些系數是否為0進行F檢驗，將接近于0的參數剔除后，重新應用遞推最小二乘法建立較少參數的CAR(n)模型，并繼續采用F檢驗的方法進行檢驗。若不顯著，則較少參數的CAR(n)模型是真實模型；若顯著，則原來的CAR(n)模型是真實模型。用以決定模型的真實階及其時滯，得到真實模型的參數估計。

經過上述3個步驟，即可建立只保留對系統影響較大因素的較少參數CAR(n)模型。

(4)模型的率定和驗證

由于永濟灌域有超過5個月的凍融期，考慮到不同時期氣溫因素對地下水埋深的影響不同，本文以永濟灌域1999—2017年月均、季均(生育期-秋澆期-凍融期)、年均引水量X1(億m3)和蒸發量X2(mm)、降雨量X3(mm)、氣溫X4(℃)作為輸入變量，地下水埋深Y(mm)作為輸出變量，建立不同時間尺度數據源(月、季、年)不考慮氣溫、考慮氣溫和只考慮凍融期(12月到翌年4月)氣溫的地下水埋深預測模型。建模及因子檢驗的顯著性水平為0.05，建模所用遞推最小二乘法的遺忘因子為1.0。為驗證模型的可行性，以不同時間尺度考慮氣溫因素的CAR(T)模型為例，月尺度數據源、季尺度數據源和年尺度數據源CAR模型分別記為CAR(T)M、CAR(T)Q和CAR(T)Y，其中1999—2013年數據用于模型的率定，2014—2017年數據用于模型的驗證。

2.3 模型評價指標

采用決定系數(R2)、均方根誤差(RMSE)和Nash-Sutcliffe系數(Ens)3種指標[33-34]對各模型模擬效果進行評價。其中R2和Ens越接近1，RMSE越小，說明預測值與實測值相差越小，擬合精度越高。反之，模型擬合精度較差。同時，通過對實測值與預測值的擬合誤差進行分析，進一步評價模型的模擬精度。

3 結果與分析

3.1 地下水埋深影響因素分析

隨著灌區續建配套及節水改造的大規模實施，總體上灌域地下水埋深呈下降趨勢，1999—2017年期間，永濟灌域年平均地下水埋深為2.16 m。按照灌域的灌水特征，通常在每年4月中旬開閘引水，11月中旬停灌，其中大規模秋澆時間為10月和11月，而在12月至翌年4月河套灌區土壤和地下水處于封凍-消融階段。為了便于季尺度地下水預測，將全年分為3個階段，其中12月—翌年4月為凍融期，5—9月為生育期，10—11月為秋澆期。由圖2可知，年內地下水埋深的變動主要受引水及生育期耗水的影響呈季節性周期變化，土壤于11月中旬開始凍結，凍層厚1～1.5 m，隨著凍層的逐漸加厚，地下水埋深隨之下降，土壤蒸發降至最小，至翌年3月出現全年最大埋深。此期埋深的下降是由于凍層上下溫差較大，地下水在溫差作用下，向凍層運移，使凍層不斷增厚，使地下水埋深加大。翌年3月無降水與灌溉入滲補給，在凍結影響下為全年最大埋深2.68 m，土壤消融始于3月初，于4月末完全解凍，凍層以下融凍水回補地下水，埋深開始上升。凍融期年均地下水埋深為2.42 m，其主要影響因素是土壤溫度，而土壤溫度受外界氣溫影響[35-36]。5月中旬夏灌開始，地下水位大幅度上升，同時蒸發作用劇烈，地下水消耗于蒸發，埋深出現峰谷交替變化，生育期間年均地下水埋深波谷出現在6月，為1.78 m，波峰出現在9月，為2.49 m，月均埋深為2.06 m。10月開始大規模秋澆，灌水量大，時間短，這一階段地下水埋深變淺，由于存在一定的滯后性，至11月出現全年最小埋深1.57 m。非凍融期(生育期和秋澆期)，入滲與蒸發之間的平衡關系是地下水埋深變化的主導因素[37]。

圖2 永濟灌域地下水埋深及其影響因素Fig.2 Groundwater depth and its influencing factors in Yongji irrigation field

通過對近20年(1999—2017年)灌域地下水埋深與引黃水量、蒸發量、降雨量以及氣溫進行相關分析(表1)，結果顯示這幾項環境因子與地下水埋深均有較好的相關性，其中引黃水量和蒸發量均達到極顯著相關，可見該區域水分入滲和耗水是其地下水變動的主導因子，而且降雨量和氣溫也與地下水埋深呈顯著相關。另外總體上不同尺度(月、季、年)地下水埋深與環境因子的相關性比較相近，不同時間尺度數據源相關性由大到小總體上依次為：年度、季度、月度，這可能是由于年尺度通過數據平均弱化了變異點的影響。

表1 地下水埋深相關因子分析Tab.1 Analysis of correlation factors of groundwater depth

3.2 不同時間尺度數據源地下水CAR模型的構建與驗證

圖3 不同時間尺度地下水CAR(T)模型率定及驗證Fig.3 Calibration and verification of groundwater CAR(T) model at different time scales

由圖3可知，率定期作為率定模型的數據來源時期，其擬合效果最好，驗證期為驗證模型的準確性，其擬合效果略差，以季尺度數據源考慮氣溫的CAR(T)Q模型為例，率定期R2、Ens和RMSE分別為0.902、0.893和0.045 m，在驗證期模型各指標精度分別下降了9.87%、11.49%和增加了25.00%，但預測曲線均很好地跟蹤了觀測曲線的變化趨勢，3種時間尺度數據源模型預測精度均較好，模擬效果較差的月尺度數據源CAR(T)M模型的率定期R2和Ens均不小于0.771、RMSE為0.069 m，驗證期預測結果相對差些，Ens為0.695。但是月度地下水埋深數據量多，能刻畫年內的地下水波動，季度也能大體反映出地下水的波動特征，而年度則不能反映地下水年內的變化。總體來說3種尺度的地下水埋深模型預測性能都較好，模型較為穩定，可進一步應用于地下水埋深的預測研究。

3.3 不同時間尺度數據源地下水CAR模型的差異性分析

圖4 不同時間尺度CAR(T)模型差異性分析Fig.4 Difference analysis of CAR(T) models at different time scales

為了探索不同時間尺度數據源地下水CAR模型的差異，并篩選出最優模型，將1999—2017年期間各因子數據按照月、季、年3種時間尺度建立CAR模型，通過對比不同時間尺度考慮氣溫的CAR(T)模型之間的精度，得出最優時間尺度模型。由圖4可知，月尺度CAR(T)M模型的相對誤差在-13%～11%之間，季尺度CAR(T)Q模型的相對誤差在-4.8%～8.8%之間，年尺度CAR(T)Y模型的相對誤差在-3.1%～4.0%之間。基于3種模型的擬合精度比較可知，擬合效果最好的CAR(T)Q模型的R2、Ens和RMSE較擬合效果較差的CAR(T)M模型分別提高了11.30%、11.86%和降低了32.35%。由圖4d可知，灌域在月尺度的相對誤差明顯高于年尺度和季尺度，部分月份相對誤差超過10%。即CAR(T)Q模型的擬合精度明顯高于CAR(T)M和CAR(T)Y模型，CAR(T)Y模型次之，CAR(T)M相對最差。可能是因為地下水埋深變化在時間序列上呈現滯后性，比如氣溫因素，有研究表明氣溫的變化需要滯后46.5 d才能經土體傳至潛水面[38]，此外，部分月份降雨量和引黃水量為零，控制因素減少，擬合結果出現誤差，這也是基于月尺度的CAR模型擬合結果相對較差的原因。從而驗證了應用季尺度進行地下水埋深動態變化預測擬合精度最高。

3.4 氣溫對凍融區地下水CAR模型的影響

為了探索氣溫對凍融灌區地下水埋深的影響，將不考慮氣溫CARQ、考慮氣溫CAR(T)Q和只考慮凍融期(12月—翌年4月)氣溫CAR(TF)Q的季尺度模型進行精度比較。由表2可知，CAR(TF)Q模型的R2、Ens、RMSE分別為0.941、0.940和0.044 m，CAR(T)Q模型和CARQ模型的R2和Ens分別降低了0.53%、0.64%和2.98%、3.09%，RMSE分別提高了4.55%和11.36%，可以看出，CAR(TF)Q模型略優于CAR(T)Q模型，明顯優于CARQ模型。從而驗證了僅考慮凍融期氣溫的CAR(TF)Q模型為最優模型。其主要由于凍融期氣溫對地下水埋深有很強的約束作用，加之引黃水量和降雨量對其約束作用減弱，所以加入氣溫對凍融期模型的擬合精度有所提高，而非凍融期氣溫對其約束力不強，主要影響因素為引黃水量、蒸發量和降雨量。可知此模型在引入數據時應注意其物理背景，而不是相關影響因子考慮的越多越好。

表2 季尺度數據源條件下不同氣溫因子CAR模型比較Tab.2 Comparison of different temperature conditions CAR model using quarter data

4 結論

(1)灌域地下水埋深與引黃水量、蒸發量、降雨量和氣溫呈顯著相關性，不同時間尺度數據源的相關性由大到小依次為：年度、季度、月度。

(2)季尺度數據源CAR模型擬合效果明顯優于月尺度數據源CAR模型和年尺度數據源CAR模型，年尺度數據源CAR模型擬合精度次之，月尺度數據源CAR模型相對較差。季尺度數據源CAR模型的R2、Ens和RMSE較月尺度數據源CAR模型分別提高了11.30%、11.86%和降低了32.35%。

(3)僅考慮凍融期氣溫的CAR模型優于考慮氣溫的CAR模型，不考慮氣溫的CAR模型擬合結果相對較差。凍融灌區最優地下水預測模型為僅考慮凍融期氣溫的季尺度CAR模型，模擬值與實測值的R2為0.941，Ens為0.940，RMSE為0.044 m。