微小衛(wèi)星磁力矩器多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

劉 劍，陳茂勝，孔令波，孫金傲，曲云昭，劉效寧，侯 穎 ，趙 波

（1. 長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，長(zhǎng)春 130033；2. 吉林省德惠市第十三中學(xué)，吉林 德惠 130300）

0 引言

磁力矩器是低軌道微小衛(wèi)星的主要執(zhí)行部件之一，由磁棒和控制電路2 部分組成[1]，用以對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)控制和動(dòng)量管理，更廣泛地應(yīng)用于反作用力飛輪的動(dòng)量制裁[2]。相對(duì)于姿態(tài)控制系統(tǒng)及其他執(zhí)行機(jī)構(gòu)，磁力矩器具有簡(jiǎn)單可靠等優(yōu)點(diǎn)。由于微小衛(wèi)星在質(zhì)量和功耗等方面存在限制，因此要求，輸出力矩大、剩磁小，體積小、重量輕[3-5]。設(shè)計(jì)磁力矩器時(shí)，在保證得到期望磁矩的同時(shí)，必須降低磁力矩器的質(zhì)量和功耗[6-9]。

一些專家學(xué)者對(duì)磁力矩器的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行了研究：文獻(xiàn)[5]對(duì)磁力矩器的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行了討論，建立了磁力矩器多目標(biāo)優(yōu)化算法模型，但模型中引入了繞線后的磁力矩器半徑這一參數(shù)，使模型復(fù)雜化，且其優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的求取過程繁瑣；文獻(xiàn)[9]針對(duì)空芯磁力矩器，給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，但它只將質(zhì)量和功耗作為設(shè)計(jì)的限制，而未作為設(shè)計(jì)目標(biāo)來考慮，并未對(duì)帶磁芯的磁力矩器進(jìn)行討論；文獻(xiàn)[3]雖然考慮了帶磁芯的磁力矩器設(shè)計(jì)問題，但該文并未同時(shí)考慮磁矩與功耗存在的矛盾。

本文改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]的磁力矩器設(shè)計(jì)算法，文中在時(shí)間常數(shù)、繞線電感、繞線層數(shù)、繞線電流等因素的制約下，給出1 種優(yōu)化的函數(shù)形式，求解該優(yōu)化函數(shù)下的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，使得在滿足輸出額定磁矩的條件下，能夠更好地平衡質(zhì)量和功耗，并對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行具體實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證。

1 模型建立

圖1 給出了載流線圈在磁場(chǎng)中的受力模型，所受力矩滿足：

式中：M為載流線圈的磁矩；S為線圈面積矢量；I為通過線圈的電流；B為磁感性強(qiáng)度。

圖1 載流線圈在磁場(chǎng)中的受力模型

空芯線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)小，無(wú)法滿足衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的指標(biāo)要求：因此必須通過磁性材料的磁化作用來提高通電線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)。載流線圈中插入磁芯，其內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度顯著增強(qiáng)，產(chǎn)生的磁矩也明顯增大[10-11]，磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矩的模表示為：

式中：μo為真空磁導(dǎo)率；N為磁力矩器繞線匝數(shù)；為磁芯長(zhǎng)度；rc為磁芯半徑；V為磁芯體積；為磁芯相對(duì)磁導(dǎo)率。Nd的計(jì)算方法為

式中Nd為磁芯的退磁因子。Lcrc越大，Nd越小，相同條件下產(chǎn)生的磁矩越大。

磁力矩器輸出磁矩與磁芯體積V、磁芯內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度B相關(guān)。式（4）為磁矩理論計(jì)算公式，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常引入衰減因子 aη，取值0.7～0.9；若磁芯的飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bs，為保證線性度，對(duì)飽和磁感性強(qiáng)度進(jìn)行降額，設(shè)降額系數(shù)為ξ，ξ通常取0.8，式（4）變換為

要達(dá)到額定輸出磁矩，磁芯體積V應(yīng)滿足：

設(shè)磁芯長(zhǎng)徑比λ為

由式（8）～式（10）可知，磁芯最小長(zhǎng)徑比滿足

通過式（11）可確定磁芯的尺寸，進(jìn)而求得磁芯的實(shí)際體積V0，由式（7）可知

將式（12）代入（13）化簡(jiǎn)可得

式（14）中除了參數(shù)N和I外其他參數(shù)均已知，設(shè)線圈長(zhǎng)度近似等于磁芯長(zhǎng)度，且每匝線圈之間緊密纏繞，則每層的繞線匝數(shù)N0為

式中d為線繞直徑。

設(shè)繞線層數(shù)為n，第n+1 層繞線匝數(shù)為Nr，則總繞線匝數(shù)N為

工程實(shí)施中，常取Nr=0 ，即

繞線中通過的電流I為

式中：R為繞線總電阻；R0為繞線單位長(zhǎng)度電阻；為繞線長(zhǎng)度。存在的關(guān)系為

將式（17）～式（19）代入式（13）可得

最終化簡(jiǎn)可得

由式（21）可知，當(dāng)磁芯和繞線確定后，滿足設(shè)計(jì)要求的方案中，繞線層數(shù)存在最大值。以設(shè)計(jì) 1 款額定輸出磁矩 5 Am2的磁力矩器為例，工作電壓12 V，磁芯的飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.7 T，磁芯直徑8～16 mm，磁芯直徑變化步長(zhǎng)1 mm，長(zhǎng)徑比不高于50，長(zhǎng)徑比變化步長(zhǎng)為1，繞線直徑0.25 mm，衰減因子0.8，通過式（21）計(jì)算出的可行方案共11 722 種，可根據(jù)具體設(shè)計(jì)需要進(jìn)行選取。

2 多目標(biāo)優(yōu)化

在確保額定輸出磁矩的前提下，微小衛(wèi)星的磁力矩器應(yīng)滿足“三小、一低、一快”，即小尺寸、小重量、小功耗、低剩磁矩和快速響應(yīng)（小時(shí)間常數(shù)）。本文僅針對(duì)質(zhì)量和功耗進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

由式（3）和式（12），可計(jì)算通過繞線的平均電流為

磁力矩器最大功耗P為

繞線質(zhì)量mw為

磁芯質(zhì)量mc為

總質(zhì)量m為

繞線電感L為

建磁時(shí)間t為

要選擇最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，即在滿足額定輸出磁矩的同時(shí)，使功耗P和總質(zhì)量m盡可能小。圖2 和圖3 給出了在設(shè)計(jì)實(shí)例中，磁力矩器的質(zhì)量和功耗的關(guān)系。圖 2 中每條曲線表示了在磁芯直徑為10 mm、不同長(zhǎng)徑比下質(zhì)量和功耗的關(guān)系，圖3中每條曲線表示了在長(zhǎng)徑比為 50，不同磁芯直徑下，質(zhì)量和功耗的關(guān)系。從圖 2、圖 3 可以看出：磁力矩器的質(zhì)量和功耗相互矛盾，即過分優(yōu)化1 個(gè)變量，會(huì)使另1 個(gè)變量急劇惡化，設(shè)計(jì)過程中要對(duì)2 個(gè)變量進(jìn)行權(quán)衡。

圖2 磁芯直徑為10 mm 時(shí)，不同長(zhǎng)徑比下質(zhì)量和功耗的關(guān)系

圖3 磁芯長(zhǎng)徑比為50 時(shí)，不同磁芯直徑下質(zhì)量和功耗的關(guān)系

本文中涉及的最優(yōu)方案僅針對(duì)質(zhì)量和功耗，實(shí)際設(shè)計(jì)中還包含其他設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)具體設(shè)計(jì)要求，對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行約束，即

在此約束下，上述實(shí)例中可行的設(shè)計(jì)方案共有241 種，選取目標(biāo)函數(shù)

當(dāng)F(P,m) 取最小值時(shí)，即質(zhì)量功耗平方和最小時(shí)的方案為最優(yōu)方案。在式（30）的目標(biāo)函數(shù)下，求得的最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1 所示。

表1 優(yōu)化函數(shù)下的磁力矩器設(shè)計(jì)參數(shù)

3 磁力矩器設(shè)計(jì)及驗(yàn)證

由以上分析可知，最優(yōu)可行方案中，磁芯的飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.7 T，直徑10 mm，長(zhǎng)度220 mm，繞線直徑為 0.25 mm，每層760 匝，繞線6 層。圖4 為設(shè)計(jì)好的磁力矩器，圖5 為磁力矩器測(cè)試實(shí)驗(yàn)。

圖4 設(shè)計(jì)好的磁力矩器

圖5 磁力矩器標(biāo)定

測(cè)試的具體原理如圖6 所示。

在距離磁力矩器質(zhì)心R處的磁感應(yīng)強(qiáng)為B，和Bt度分別為B沿R徑向和切向的分量，它們與磁矩M的關(guān)系滿足

圖6 磁力矩器測(cè)試原理圖

圖7 時(shí)測(cè)試原理

圖8 時(shí)測(cè)試原理

由上述分析可知，磁矩的測(cè)量可以轉(zhuǎn)化成對(duì)確定位置磁感應(yīng)強(qiáng)度的測(cè)量，磁感應(yīng)強(qiáng)度可通過磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行測(cè)量[12]，本文在的條件下進(jìn)行磁力矩的測(cè)試，測(cè)試點(diǎn)的環(huán)境磁感性強(qiáng)度為測(cè)試數(shù)據(jù)如表2 所示。

圖 9 是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果直接擬合的磁力矩器的電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系曲線；圖10 是通過關(guān)系式將磁感應(yīng)強(qiáng)度轉(zhuǎn)化為磁矩后，擬合的磁矩和電流的關(guān)系曲線，其表達(dá)式為

表2 磁力矩器標(biāo)定數(shù)據(jù)

圖9 磁力矩器電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度擬合曲線

圖10 磁力矩器電流和磁矩?cái)M合曲線

當(dāng)輸出磁矩為5 Am2時(shí)，繞線電流為97.7 mA，經(jīng)過計(jì)算，線性度誤差小于0.3 %。

由式（16）、式（12）和式（4），可計(jì)算出輸出磁矩和繞線電流的理論關(guān)系式為

由式（34）和式（35）可以看出，2 個(gè)關(guān)系式存在一定誤差，這個(gè)誤差主要由衰減因子的選取引起的。本例中衰減因子選取得較小，這樣可以保證設(shè)計(jì)方案有較大的余量。如果不考慮衰減因子，則輸出磁矩和繞線電流的理論關(guān)系式為

則實(shí)際衰減因子ξ為

上例設(shè)計(jì)過程衰減因子選取 0.8。衰減因子的取值范圍一般為0.7～0.9。衰減因子選取不當(dāng)，會(huì)使標(biāo)定曲線與理論曲線有一定偏離，為使設(shè)計(jì)方案有更大的余量，衰減因子可以適當(dāng)選取得小一些。

使用本文所述方法計(jì)算設(shè)計(jì)的磁力矩器已在“吉林一號(hào)”星座系列衛(wèi)星上得到充分應(yīng)用，證明了設(shè)計(jì)方案的正確性和可行性。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過本文的分析，可以得到

1）設(shè)計(jì)1 款磁力矩器，當(dāng)磁芯和繞線確定時(shí)，可行方案中繞線層數(shù)存在最大值；

2）磁力矩器的質(zhì)量和功耗是相互矛盾的變量，過分優(yōu)化1 個(gè)變量，會(huì)使另1 個(gè)變量急劇惡化，設(shè)計(jì)過程中要對(duì)2 個(gè)變量進(jìn)行權(quán)衡；

3）利用本文改進(jìn)的算法，既可以對(duì)某些變量進(jìn)行設(shè)計(jì)約束，也可以針對(duì)具體設(shè)計(jì)要求給出新的優(yōu)化函數(shù)，或?qū)⑿碌淖兞考尤氲絻?yōu)化函數(shù)。