運用向量簡證三角形內心坐標公式

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

為了便于廣泛交流，把此結論稱之為三角形內切圓圓心坐標公式，即三角形內心坐標公式.

三角形內心坐標公式，文字表述簡潔，符號表述漂亮，結構優美，十分有趣，讓人賞心悅目，享受到數學之美，感受到數學的魅力，且有著廣泛的用途.由此引起筆者極大的探究興趣與熱情，筆者查閱了大量的資料，沒有找到三角形內心坐標公式的證明記錄.筆者反復思考，反復推算，調整思維，受文[2]的啟示，筆者想到運用向量探究三角形內心坐標公式的簡證，獲得成功，形成此文，與大家分享、共賞.

因為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，O(x0，y0)，

所以由③，得a(x1-x0，y1-y0)+b(x2-x0，y2-y0)+c(x3-x0，y3-y0)=0，即(ax1-ax0+bx2-bx0+cx3-cx0，ay1-ay0+by2-by0+cy3-cy0)=0，

所以ax1+bx2+cx3-(a+b+c)x0=0，ay1+by2+cy3-(a+b+c)y0=0，

簡證2 連接AO，作OD⊥AC交邊AC于點D，如圖2.設△ABC的內切圓半徑為r，則OD=r.

=2+2cosA

因為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，O(x0，y0)，所以(a+b+c)(x0-x1，y0-y1)=b(x2-x1，y2-y1)+c(x3-x1，y3-y1)，

故而(a+b+c)(x0-x1)=b(x2-x1)+c(x3-x1)，

(a+b+c)(y0-y1)=b(y2-y1)+c(y3-y1)，