橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同
——坐標法解決平面向量的模長問題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

以平面向量模長為背景的綜合題，通常與函數、不等式、平面幾何、三角函數、解析幾何等知識點結合考查，能綜合考查學生分析問題和解決問題的能力，能有效考查學生的思維品質和學習潛能，體現了高考在知識點交匯處命題的思想，是高考的熱點，也是難點. 解決這類問題的關鍵是認真分析題意，恰當地將問題等價轉化為解析幾何中的模型，或者函數或不等式求最值等問題進行求解.

正因為向量既有“數”，又有“形”的雙重身份，所以數形結合法是解決平面向量模長問題的常見方法．而坐標法作為學生非常熟悉的方法，自然而然成為了平面向量模長的解題利器，這也是一種將幾何問題代數化的典范.

一、已知向量坐標求模長的問題

已知向量坐標求模長的問題常與二次函數的最值或者三角函數的范圍有關，運算正確即可.

例1已知向量a=(1-t,t),b=(2,3)，則|a-b|的最小值為( ).

故選C.

二、已知條件中有明顯垂直關系的模長問題

有一類在已知條件中有明顯的垂直關系的問題，比如已知矩形、數量積為零等等. 這類問題很多學生是可以想到用坐標法的，建立直角坐標系后，剩余的問題就是運算.

圖1

圖2

例5已知a,b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的最大值是____．

解析因為a,b是單位向量，且a·b=0，所以可設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則c-a-b=(x-1,y-1).由|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1，即(x,y)的軌跡是以(1,1)為圓心，半徑為1的圓.

解析由題意可知，不妨以A坐標原點，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立直角坐標系，則A(0,0),B(3,0),C(0,4).

故選D.

三、已知條件中未出現明顯垂直關系的模長問題

已知條件中未給出明顯垂直關系的問題是比較常見的，那么如何透過現象，找到建立直角坐標系的契機，這就需要認真分析題目已知條件，難度較大.

A. 3 B. 4 C. 8 D. 16

故選B.

A．6 B．7 C．8 D．9

故選B.

圖3

例11已知向量a,b，且|b|=2，b·(2a-b)=0，則|tb+(1-2t)a|(t∈R)的最小值為____．

平面向量問題總是給人一種“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的感覺，但是不論平面向量問題是以何種方式呈現，不論和哪些知識進行交匯，首先應該去思考能否進行坐標法解答. 坐標是向量進行代數化的中傳媒介,通過向量的坐標表示可將向量問題轉化為代數問題來解決.而坐標是需要借助于直角坐標系的，所以對于某些平面向量問題,若能建立適當的直角坐標系,就可以使圖形中復雜的幾何關系轉化為簡單直接的代數關系.雖然存在運算問題，但是大大減少了推理過程,有效地降低思維量,起到事半功倍的效果．

上述問題幾乎都是通過建立坐標系將向量問題轉化為函數與不等式問題求解,體現了向量解題的工具性. 建立直角坐標系的原則是能準確快捷地表示有關向量或點的坐標，正確找到變量間的關系，以及正確分析目標函數代表的幾何意義．