極值點偏移的判定方法和運用策略

汪 杰

(湖北省孝感市孝昌縣第二高級中學 432900)

極值點偏移在高中數學的引入，能夠更直觀地解決所學的函數問題，為學生們提供更便捷的解題思路，讓學生能夠快速地解決相關的數學問題，有利于學生未來的數學學習.本文著手這一角度，對導數在求函數極值以及最值問題中的應用進行介紹.

一、函數極值概述

1.極值點偏移的判斷定理

對于一個可導函數y=f(x)，在它的區間(a,b)之間只有一個極大值/極小值點x0，假設該方程的兩個根是x1、x2，其中存在關系a

情況1：如果f(x1)x0或者是(x1+x2)/2

因為對于可導函數y=f(x)，在區間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0，則函數y=f(x)的單調遞增/單調遞增區間為(a，x0)，單調遞減/單調遞增區間為(x0，b)，另外又因為存在a2x0-x2，即(x1+x2)/2>x0或者是(x1+x2)/2

情況2：如果f(x1)>f(2x0-x2)，那么(x1+x2)/2>x0或者是(x1+x2)/2

因為對于可導函數y=f(x)，在區間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0，則函數y=f(x)的單調遞增/單調遞增區間為(a，x0)，單調遞減/單調遞增區間為(x0，b)，另外又因為存在ax0，所以結合f(x1)2x0-x2/x1<2x0-x2，即(x1+x2)/2x0，得出函數y=f(x)極小值/極大值點x0右偏/左偏.

2.求可導函數f(x)極值的步驟

第一步，確定函數定義區間，對函數進行求導.第二步，求出f′(x0)=0的根.第三步，根據函數導數為0的點來將函數定義域順次劃分為若干小開區間，并整理成表格，針對導數方程根兩端的值符號進行判斷，左正右負為極大值，左負右正為極小值，如果左右不改變符號，那么該函數在這個根處沒有極值.

3.函數極值注意事項

(1)極極值的運用能夠更快速地解決函數問題.但極值是一個局部的概念，僅針對所要解決的函數問題運用極值進行函數的區間判斷，通過分析與計算明確函數的最大值和最小值，但并不能說明這點所對應的函數值在函數的整個定義域內就是最大的或者最小的；

(2)極值點偏移指的是對于單極值函數來說，因為它的函數極值點左右增減速度有所不同，所以函數圖象就不具備一定的對稱性.若函數的左右不改變符號，那么可以說函數在這個定義區間內沒有極值.

二、運用判定定理判定極值點偏移的方法

1.求出函數y=f(x)的極值點x0；

2.構造一元函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

3.確定函數F(x)的單調性與單調區間；

4.根據F(0)=0，判斷F(x)的符號，進一步確定f(x0+x)、f(x0-x)的大小關系[3].

三、運用判定定理判定極值點偏移的運用策略

1.構造函數法

構造對稱函數(主要適用于用判定定理2)判斷極值點時

(1)求出函數f(x)的極值點x0；

(2)構造一元差函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

(3)確定函數F(x)的單調性與單調區間；

(4)根據F(0)=0，判斷F(x)的符號，進一步確定f(x0+x)、f(x0-x)的大小關系.

2.構造比較函數

(主要適用于用判定定理1或者定義)判斷極值點時

(1)把x1+x2轉化為t的函數；

(2)設t=x2/x1、t=ln(x2/x1)、t=x2-x1、t=ex2-x1等.

3.不等式放縮

極值點偏移的有關問題中，函數中如果存在ex、lnx的式子時，很難用到基本不等式，所以需要利用平均不等式或者是指數不等式，采用不等式放縮法求解.

在對數平均的定義中，設a=em，b=en，則有E(a，b)=(em-en)/(m-n)(m≠n)，且E(a，b)em-en(m=n)，根據對數平均不等式e(m+n)/2≤E(a，b)≤(em+en)/2，此不等式為指數不等式.

本文針對極值點偏移問題及運用策略分別展開詳細闡述，總而言之，在高中數學教學過程中，教師需要讓學生能夠掌握利用極值點偏移思想來對函數進行求解，這樣有利于學生對于函數極值問題在進行解題時更加準確和快速，而極值點偏移貫穿整個高中數學教學內容，當學生對于函數問題能夠有更深層次地理解和應用，那么有利于整個高中數學知識內容的學習.