似是而非卻又神機妙算的估算法

滕澤艷

(山東省平度第一中學 266700)

歷年高考試題中，有相當一部分選擇題甚至填空題都可以用估算法簡捷地解決.下面通過舉例進行說明，并對其解題一般規律進行歸納與整理.

例1 已知過球面上A、B、C三點的截面和球心距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是( ).

解析選D.

解法一估算法.如圖，2R=OA+OB>AB=2，故R>1，得S球=4πR2>4π，選D.

點評1.比較解法一和解法二，即估算法與直接法后我們不難發現，前者僅運用簡單的大小比較(三角形兩邊之和大于第三邊)即選出正確結果，思路清晰，回避了運算.

2.估算法體現了特殊與一般的數學思想方法.

解析選D.

解法一估值法.

故排除A、B、C，應選D.

解法二特殊值法.

所以取特殊情況：即EF⊥面ADE，如圖.取AB與CD的中點M、N，連接MF，NF，作EO⊥AD，垂足為O，則EO⊥平面ABCD.

∴VABCDEF=VADE-MNF+VF-MBCN

點評1.本題中的多面體是非典型的多面體，既非棱柱也非棱錐，直接求體積比較困難.解法一用易求的部分體積“四棱錐E—ABCD”估整體法，極其簡捷.而解法二以特殊圖形求解，由于四個選項均為定值，所以EF的位置并不影響結果，這樣運算也非常簡潔.

2.應用估算法解題的一般步驟為：

(1)根據問題條件，對數學對象(變量或圖形等)進行特殊處理或縮放等；

(2)對處理后的對象進行計算；

(3)根據計算結果估計結論.

解析選C.

解法一估算法(取特殊點估算).

解法二估算法(以極限位置估算)

點評1.圖形(圖象)類選擇題一般用排除法即可.可以從以下方面進行排除：

(1)特殊點的函數值；

(2)函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性及極限(如漸近線)等.抓住其中其一個某一些性質即可進行排除.

2.估算法一般適用于不易直接求解或不易精確判斷的數學問題.

例4 用1，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數的個數共有( ).

A．24 B.30 C.40 D.60

解析選A.

解法二直接法

先排個位，從2與4這兩個偶數中選一個有2種選法，再從余下的4個數字中任選2個排十位與百位(有序)，有4×3=12種，所以，共有選法2×12=24種.選A.

點評1.解法一巧妙利用奇偶數的對稱性進行估算求解，簡潔明了.

2.常見估算的方法有：

(1)以范圍估定值：即不直接求出定值，而是通過研究所求元素的取值范圍求解；

數形結合列代數式解題，或者反之，借助圖形估算出數；

(2)以特殊估一般，即選取特例或特殊值對一般性問題進行處理；

(3)取近似值估算.