三角函數求值策略之“無中生有”

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

一、無中生“1”

例1已知tanα=2，求sinαcosα的值.

本題直接求解需要分類討論，運算也會繁瑣些，通過構造分母1湊出齊次式，可利用同角三角函數關系式直接轉化為只含有tanα的式子，使問題順利解決.

二、無中生“三角形”

例3 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

解析構造△ABC,使得A=38°,B=82°,C=60°,設△ABC外接圓直徑為2R,

則：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

由正弦定理：sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

反思如果利用三角公式進行化簡和求值運算，需要降冪公式和和差化積公式，較繁瑣，而且和差化積公式現在已經不學了.仔細觀察所給角的特征我們發現38°,82°與60°正好構成一個三角形的三個內角，因此考慮構造三角形利用正余弦定理求解.實際上利用歸納推理，大家還可以得到一般性結論: 這實際上是正余弦定理的綜合形式.

例4 求cos36°的值.

解析如圖建立三角形ABC，∠A=36°,∠ABC=∠ACB=72°，

作∠ABC的角平分線BD.

設AB=AC=1,BD=AD=BC=x，則CD=1-x.

顯然△ABC～△BDC,

三、無中生“向量”

例4 求函數y=4cosx+3sinx的最大值.

解構造向量，設a=(4,3)，b=(cosx,sinx).

顯然向量|b|=1，即向量b是單位向量.

因為a·b≤|a||b|,

所以有4cosx+3sinx≤5×1=5,

即函數y=4cosx+3sinx的最大值為5.

反思構造單位向量，利用a·b≤|a||b|求出函數最值.

所以a·b=|a||b|.由此可得向量a,b共線同向,

反思構造單位向量，利用向量數量積性質a·b≤|a||b|中等號成立的條件是向量a,b共線同向，從而使問題得以順利解決.