例談分類討論的依據(jù)

張蔡莉

(福建省石獅市第一中學(xué) 362700)

分類討論貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)生分析問題，解決問題的有很大的作用.高中數(shù)學(xué)分類討論主要有兩種類型：一，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，求自變量的取值范圍.二，給出某個(gè)結(jié)論，求參數(shù)的取值范圍.學(xué)生思維能力不強(qiáng), 經(jīng)常分不清是否需要討論，討論的依據(jù)是什么，以及分幾種情況進(jìn)行討論.

本文通過:第一,求出變量的臨界值，即變量的分界點(diǎn)；第二，在數(shù)軸上按照分界點(diǎn)的大小，將變量的取值劃分成不同區(qū)間；第三，按從小到大的順序，在各個(gè)區(qū)間中依次進(jìn)行討論；第四，積零為整，適當(dāng)歸納總結(jié).做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏.

一、由數(shù)學(xué)概念引起的討論，如“圓錐曲線”,“絕對(duì)值”等

例1(2017全國課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|，

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)≥g(x)的解集；

(2)略.

分析由f(x)≥g(x)得,x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.根據(jù)絕對(duì)值的定義：被絕對(duì)值的數(shù)x+1，x-1需要和0比較大小，因此，在數(shù)軸上-1，1是自變量x的分界點(diǎn)，按照從小到大，分成x≤-1，-1

二、由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的討論,如“給定區(qū)間”，“某個(gè)新函數(shù)的定義域”等

例2(2014四川高考)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值；

(2)略.

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間[0,1]內(nèi)，g′(x)>0，故y=g(x)在[0,1]內(nèi)遞增，g(x)的最小值為g(0).

然后再積零為整，利用集合運(yùn)算，歸納總結(jié)，從而求出函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最小值.

三、由圖象的位置引起的討論，如“一元二次函數(shù)”，“指數(shù)函數(shù)”，“對(duì)數(shù)函數(shù)”圖象等

例3 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)略.

(1)求b;

由上可見，不等式的討論覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，范圍廣，難度大.但萬變不離其宗,其核心思想還是抓住要求的變量，統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，找出分界點(diǎn)，在同級(jí)中劃分區(qū)域逐步討論，才能做到思路嚴(yán)謹(jǐn),不缺不漏.