明確方向 分步求解

洪汪寶

(安徽省安慶市第一中學 246004)

題目在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

本題是2018年高考數學江蘇卷填空題第13題，題干條件簡潔，題意清楚，目標明確，主要考查解三角形，將解三角形與不等式巧妙地結合起來，考查學生分析問題和解決問題的能力，對學生的綜合能力要求較高.因為條件中已知三角形的一個內角大小及其內角平分線長，三角形并不能唯一確定，所以等量關系中蘊藏不等關系.對于這樣的解三角形問題，通常有兩個方向，一是將邊轉化為角的三角函數；二是建立邊之間的等量關系.下面讓我們一起來按兩個不同方向分步求解本題.

一、轉化為角的三角函數

第一步：將邊轉化為角的三角函數

第二步：求有關三角函數的最小值

二、建立邊之間的等量關系

鑒于上面轉化為角的三角函數的解法過程非常繁瑣，勢必影響我們思考能否先建立邊a,c的等量關系，再來求4a+c的最小值，整個過程分成兩大步，明確了解題方向，下面我們來分步求解.

第一步：建立等量關系a+c=ac

1.坐標法

2.利用內角平分線的性質

3.向量法

4.面積法

5.平面幾何法

點評上面從多個不同角度來挖掘邊a與c之間的等量關系，其中比較而言，利用面積法最簡單，雖然S△ABD+S△CBD=S△ABC是非常明顯的結論，但不易被學生發現；作平行線構造等邊三角形和相似三角形這種平面幾何法，其運算過程也相對比較簡單.

第二步：求4a+c的最小值

1.利用均值不等式

2.利用柯西不等式

3.利用判別式法

點評用重要不等式求最值關鍵在于配湊，法1先消元，再配湊運用均值不等式；法2直接利用“1”的代換，整體配湊；法3運用柯西不等式時也要湊形式；法4運用判別式來求解，體現了方程思想，不過要注意等號成立的條件.

通過以上解法的探究，啟示我們在平時的學習中要認真研究高考真題，要學會將復雜的問題進行分解，化整為零，學會從多個角度對同一問題進行分析，做到一題多解，提高思維的發散性，弄清問題的本質和問題解決的關鍵所在，學會突破解題瓶頸.只要我們解題時做到心中有目標，就可以分步求解，各個擊破.