一類解三角形問題的多角度思考

楊蒼洲

(福建省泉州第五中學 362000)

一、典例分析

圖1

解析設BC=a，AC=b，AB=c.

1.向量法

2.算兩次的方程思想

在△ABC中，a2=b2+c2-2bc·cos∠BAC，

3.結合平面幾何的轉化法

圖2

延長AD到E，使得CE∥AB，則△DAB∽△DEC.

由余弦定理得

4.結合平面幾何的轉化法

圖3

在AC上取點E使得DE∥AB.

二、解法揭示

試題結構在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.問題中常涉及的量：

(1)角∠BAC；

(3)AD的長度；

(4)△ABC的面積或周長等.

解題方法：

法二：分別在△ABC，△ABD，△ACD中解三角形，注意到AD分別在△ACD、△ABD三角形內，∠BDA與∠CDA互補，BC=BD+DC等，應用算兩次的方程思想，從而可得a,b,c,∠BAC的關系，再根據具體問題盡行轉化；

法三：結合平面幾何進行轉化，先構造平行線，從而得到相似三角形，得到對應邊成比例，再把已知的量集中在某個三角形內，解三角形得到a,b,c的關系，再根據具體問題盡行轉化.

三、類題賞析

答案：D.

2.在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，且BD=1，則△ABC周長的最大值為( ).

答案：D.

圖4

答案：B