對(duì)比習(xí)題研模式 統(tǒng)一解法促效能
——以不等式求解為例

李秀元

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 435400)

數(shù)學(xué)是一門尋求“完美”模式的學(xué)問.數(shù)學(xué)解題一般都是有模式的.研究解題模式，熟練運(yùn)用模式解題，對(duì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的現(xiàn)實(shí)意義是積極的.而且，研究解題模式，對(duì)于理解不同題目的關(guān)系，快速解題也是非常有好處的.下面基于不等式問題，舉例說明統(tǒng)一求解模式在不同題目中的應(yīng)用，借此彰顯統(tǒng)一解題模式的積極意義.

一、統(tǒng)一模式，加深對(duì)問題的理解

(2)已知-1

分析對(duì)于問題(1)，由于a，b單獨(dú)變化，互不影響，可直接利用不等式的性質(zhì)求解.求解問題(2)時(shí)，學(xué)生往往受問題(1)的影響，總是先求a，b的取值范圍，再求2a+3b的范圍.事實(shí)上，a和b在變化過程中是相互制約的，因此不能單獨(dú)確定a和b各自的取值范圍.如果對(duì)a+b和a-b分別換元后，則問題(2)可以回歸到問題(1)的模式.

評(píng)析問題(2)是學(xué)生最易出錯(cuò)的一道題，人教A版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書必修5，用一個(gè)“閱讀與思考”來解釋，為什么正確應(yīng)用不等式性質(zhì)的求解，結(jié)果卻是多樣的、錯(cuò)誤的.應(yīng)用模式化方法，使新問題回歸到已有模型，復(fù)雜問題簡單化，求解不會(huì)出現(xiàn)偏差，也根本不需要任何解釋.轉(zhuǎn)化為問題(1)的模型，本質(zhì)上是用a+b和a-b這兩個(gè)整體變量來表示2a+3b，不破壞單獨(dú)變量a和b之間的依賴性，然后借助不等式的性質(zhì)，確定其取值范圍.

二、統(tǒng)一模式，提高解題速度

例2(1)已知f(x)=(ax-1)(x+b)，如果f(x)>0的解集為(-1，3)，求f(-2x+3)<0的解集；

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-12ax的解集.

分析對(duì)于問題(1)，一般先根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)，和不等式解的形式，確定函數(shù)類型，求出參數(shù)a和b的值，進(jìn)而解一個(gè)基于f(x)的更復(fù)雜不等式.但這樣求解無視結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，毫無靈性，無法提高解題的速度和準(zhǔn)確度.

所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集為(0，3).

方法2：不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax可化為a(x-1)2+b(x-1)+c>0，由題意知-1

因此，不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集為(0，3).

評(píng)析這兩個(gè)不等式的求解，并不是多么困難，甚至可以說是簡單的，基于一般化思想未嘗不可，但如果關(guān)注到不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則為快速而準(zhǔn)確解題，提供了必要條件，這也許就是模式化的極大好處.

三、統(tǒng)一模式，降低解題難度

分析一這是等式條件下利用均值不等式求最值的典型試題.問題(1)條件形式復(fù)雜，目標(biāo)結(jié)構(gòu)更簡單，從復(fù)雜到簡單容易操作，既可以利用消元法，又可以利用“1”的代換.問題(2)則是條件簡單，目標(biāo)復(fù)雜，從簡單到復(fù)雜構(gòu)造難.在解題技巧上可以利用“1”的代換，如果用消元法，則目標(biāo)式會(huì)越來越復(fù)雜，除了借助特殊不等式，似乎沒有更好的辦法.若能把問題(2)轉(zhuǎn)化為問題(1)的形式，則兩者的求解就統(tǒng)一了.

解(1)方法1：消元法.

方法2:“1”的代換.

(2)方法1：“1”的代換.

方法2：消元后利用特殊不等式.

為了說明問題，我們先證明下面的不等式：

證明因?yàn)閍，b，x，y為正數(shù)，

再看問題的解.

方法3：換元法.

評(píng)析特殊不等式的證明思路，正是源于問題(1)的求解方法2.問題(2)的方法1用技巧取勝，不太符合新高考命題理念，方法2以特殊不等式為背景，看似簡單，實(shí)際上增加了識(shí)記要求，如能抓住問題的本質(zhì)，即“1”的代換，不用特殊不等式也是可行的.此時(shí)所謂“1”的代換，已經(jīng)不僅僅限于和為1，只要和為正常數(shù)，都是可以的.對(duì)條件和目標(biāo)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換，則問題(2)回歸到問題(1)的形式，難度自然降低.

分析二換個(gè)角度看問題(1).一般地，應(yīng)用均值不等式求最值，結(jié)構(gòu)上往往具有“給和求積”，“給積求和”的特點(diǎn).如果能將 “分式和結(jié)構(gòu)”的等式條件，變換成“整式積”的形式，那么，試題也就能回歸到更一般的解題模式上了.

評(píng)析相對(duì)于分析一的特殊解法，對(duì)于“給分式和求整式和”問題，將分式型等式條件化為整式等式條件，只需要進(jìn)行一次因式分解，湊一湊就行了，因式的構(gòu)成完全依賴于目標(biāo)的線性結(jié)構(gòu)，無論系數(shù)與等式是否一致，都是可以的.這樣解題難度似乎又降低了不少.

不同知識(shí)點(diǎn)的試題，往往具有各自獨(dú)立而特別的解題模式，如數(shù)列問題的構(gòu)造模式，三角函數(shù)問題中的變角模式，解析幾何問題的運(yùn)算模式，等等.研究模式，洞悉模式，進(jìn)而利用模式，為快速解題創(chuàng)造得分條件，正是試題研究的方向之一，值得擁有.