用圖思考求ω
——從一道高考壓軸題談起

李定平

(廣東省佛山順德羅定邦中學 528300)

2016年新課標一卷理12題：

已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(>0，|為f(x)的零點，為y=f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在單調，則ω的最大值為( ).

A.11 B.9 C.7 D.5

本題作為選擇題中的最后一題，也稱選擇壓軸題，是區分度題高的題之一．它考查了y=Asin(wx+φ)的函數圖象變化對參數A，ω，φ的影響，即考查了函數的單調性、對稱性、周期性的綜合運用，需要較高的綜合能力，也就深受各地統考模擬題的青睞．一般思路是計算出來：

當ω=11時,11

故ω的最大值為9，答案選B.

本題實際上就是已知函數圖象，求系數ω、φ，如果題型方法溯源的話，就是初中求函數解析式的方法——待定系數法(或代點法)，把已知點代入后得系數組成的方程組，解之得．這是一種基本數學方法．作為選擇題中的壓軸題，考試時像上面解法一樣，中規中矩把它算出來當然好，可是，考場上有那么多時間嗎？況且本身就是考查學生的綜合能力，既然是考查函數圖象，就可以用圖象思考：

用圖思考，三下五除二非常簡潔地將ω求出來了，這不就是我們所要求掌握的思維方式嗎？這也是我們數學學科的核心素養——直觀想象．下面就求y=sin(ωx+φ)中的ω的題型分類例說．

一、已知兩關鍵點(零點或對稱軸)及在某區間單調求ω

說明：由兩關鍵點之間畫出單調區間的個數是解此題的關鍵．

解析為偶函數，f(0)=f(φ)=1，∵0<φ<，在上單調繼續至M(如圖3虛線)或拐至M(實線)，得到了函數的單調區間長度，計算得或ω=2.

說明：兩自變量函數值相反，中間點就是零點，兩自變量函數值相等，中間點就是對稱軸．

二、由一個關鍵點及在某區間單調求ω

說明：在某區間單調，不能確定函數的單調區間長度，只能得到單調區間長度的一個范圍，從得到ω的范圍.

三、由函數在某區間單調求ω

四、由關鍵點確定增減區間

說明：重視“五點法”作圖中五個點的相互位置及增減性．

練習:(為了鞏固，給出幾個練習供選用)

只有真正理解了y=Asin(ωx+φ)的圖象特征才能靈活地解決它的圖象問題，反過來靈活運用圖象牲特征解題又能加深對三角函數圖象的理解，提升我們的直觀想象素養，在以素養導向的高考中取得優異成績.