例談條件極值在多元函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用

余鐵青

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

一、引言

筆者最近在統(tǒng)計(jì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)時(shí)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)多元函數(shù)在考查，并且在近幾年的全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽中考查頻率較高.而實(shí)際情況是大部分考生做慣了單變量的函數(shù)最值問(wèn)題，一般容易聯(lián)想到運(yùn)用代入法，換元法或者導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行處理，但通過(guò)實(shí)際運(yùn)算發(fā)現(xiàn)用這種方法處理起來(lái)是十分困難的.在高考數(shù)學(xué)考試大綱里面明確要求要考生進(jìn)一步培養(yǎng)的潛質(zhì)，這也導(dǎo)致了大學(xué)部分學(xué)習(xí)的內(nèi)容滲透到高中進(jìn)行隱蔽性的考查.這就直接導(dǎo)致了高考數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中越來(lái)越多的考查學(xué)生遷移發(fā)現(xiàn)的能力.筆者基于此去翻閱了華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的數(shù)學(xué)分析教材，發(fā)現(xiàn)我們利用條件極值和拉格朗日乘數(shù)法來(lái)解決多元函數(shù)最值問(wèn)題是行之有效的.假如不與學(xué)生介紹此類做法會(huì)導(dǎo)致大家運(yùn)用常規(guī)的方法進(jìn)行處理，效率十分低下，得分少，甚至不得分.那么我們系統(tǒng)性，程序性地處理這類問(wèn)題就顯得很有必要了.

二、基本概念介紹

1.偏導(dǎo)數(shù)

二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí)，它對(duì)另一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù)，定義如下：

2.拉格朗日乘數(shù)法(Lagrange multiplier)

3.黑塞矩陣(Hessian Matrix)

我們稱(x0,y0)為穩(wěn)定點(diǎn)，再根據(jù)黑塞矩陣正定，負(fù)定來(lái)判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

三、真題應(yīng)用

例1(自變量無(wú)限制條件題型)

若x,y∈R，求f(x,y)=x2+2xy+4y2+x+2y的最小值.

引理(截取)在二元二次函數(shù)

f(x,y)=ax2+2bxy+cy2+dx+ey+g中，設(shè)Δ=ac-b2,則有：

若Δ>0,當(dāng)a>0時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)p(x0,y0)取到最小值.

對(duì)比引理，此題中a=1,b=1,c=4,顯然Δ=ac-b2=3>0，所以解答正確.

說(shuō)明完整引理來(lái)源于1990年昭通師專(現(xiàn)昭通學(xué)院)數(shù)學(xué)系教師饒克勇老師發(fā)表的《二元二次函數(shù)的極值公式》)

例2(自變量有限制型題型)

(浙江2014年高考題文科)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1，則a的最大值為_(kāi)___.

解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

L(a,b,c,λ,μ)=a+λ(a+b+c)+μ(a2+b2+c2-1)，

方法1(常規(guī)法)

由均值不等式顯然有

顯然這種做法很難想到，尤其是第一步為什么要取三個(gè)自變量相等且同時(shí)為1.

方法2(偏導(dǎo)法)

對(duì)比發(fā)現(xiàn)這樣處理起來(lái)遠(yuǎn)比利用不等式簡(jiǎn)單，而且輻射面擴(kuò)大，能夠較好地照顧到基礎(chǔ)中等的同學(xué).

寫在最后：很多一線教師抱怨高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于中學(xué)的教學(xué)沒(méi)有太大的作用，實(shí)際上是因?yàn)闆](méi)有真正把兩者進(jìn)行比對(duì)分析，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的必然聯(lián)系，才造成認(rèn)為高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)里面沒(méi)有應(yīng)用的錯(cuò)覺(jué).筆者認(rèn)為必須在教學(xué)中要經(jīng)常反思，以促成教師掌握以高觀點(diǎn)的角度看問(wèn)題的思維意識(shí)和情感態(tài)度.