基于未知荷載系數法的斜拉橋索力優化

劉 軍

(山西省交通科技研發有限公司 太原 030032)

斜拉橋作為高次超靜定組合結構體系，具有結構跨度大、梁體自重輕，以及造型優美等特點，斜拉索能夠有效地改善斜拉橋的內力分布情況和線形平順程度，使其達到合理成橋狀態[1]。如何進行索力優化一直是斜拉橋設計的核心問題，國內外學者針對該問題進行了一系列的研究，并取得較好的成果，將斜拉橋索力優化方法分為指定結構狀態、無約束優化法、有約束優化法和影響矩陣法[2-4]。前3種優化方法由于只考慮了單一的目標函數，其各自使用范圍具有一定的局限性。影響矩陣法綜合了以上3種優化方法，將多種目標函數進行統一，解決了單一目標函數優化的缺點[5]。

未知荷載系數法的本質為影響矩陣法，采用未知荷載系數法計算斜拉橋最優索力具有高效性和精準性等特點[6]。本文結合具體的斜拉橋工程，采用未知荷載系數法計算斜拉橋的最優索力，具有一定的工程實踐價值。

1 未知荷載系數法

1.1 未知荷載系數法原理

未知荷載系數法是通過設置斜拉橋的約束條件，求出滿足約束條件的合理變量值，其計算理論基礎為影響矩陣法。

結構滿足線性疊加原理，因此

D=CX

(1)

式中：D為受調向量；C為影響矩陣；X為施調向量。

結構的彎曲應變能可寫成

(2)

對于離散的桿系結構可寫成

(3)

式中：m為結構單元總數；Li、Ei、Ii分別為i號單元的桿件長度、材料彈性模量和截面慣性矩；MLi、MRi分別為單元左、右端彎矩。

將式(3)改寫成

U=MLTBML+MRTBMR

(4)

式中：ML、MR分別為左右端彎矩向量；B為系數矩陣；對角元素為

(5)

令調索前左右端彎矩向量分別為ML0、MR0，施調索力向量為T，則調索后彎矩向量為

(6)

式中：CL、CR分別為索力對左右端彎矩的影響矩陣。將式(6)代入式(4)得

(7)

式中：C0為與T無關的常數。

要使調整后結構應變能最小，令

(8)

式中：l為調整索數。

式(7)代入式(8)并寫成矩陣形式

CLTBCL+CRTBCRT=-CRTBMR0-CLTBML0

(9)

取彎曲應變能與拉壓應變能之和為目標函數，將方程式兩端的影響矩陣用索力相應于相應截面內力的影響矩陣取代即可得到最優索力方程。

采用有約束的最小能量法對結構進行優化，可選結構的總勢能作為優化目標函數。使用midas Civil軟件建立有限元模型，根據有限元模型求出單元兩端彎矩向量ML0、MR0和索力對彎矩的影響矩陣CL和CR，最后求解方程(9)，進而求出拉索索力向量T。

1.2 未知荷載系數法步驟

1) 根據斜拉橋設計參數建立三維模型，其中：主梁、索塔和基礎均采用梁單元模擬，拉索采用桁架單元模擬。

2) 根據實際情況將結構自重、二期恒載和拉索單位初拉力輸入模型中，并進行荷載組合。

3) 采用分析模塊進行結構分析。

4) 利用軟件中未知荷載系數功能，設置斜拉橋成橋狀態時需要滿足的控制條件，通過影響矩陣法求出未知荷載系數。未知荷載系數法計算流程圖見圖1。

圖1 未知荷載系數法計算流程圖

2 建模分析

2.1 工程概況

斜拉橋為單塔雙跨混凝土結構，跨徑組成為98 m+98 m=196 m，索塔高度H為46.15 m，高跨比為0.471。橋寬27.5 m，設雙向六車道，橋面布置為1.5 m+0.5 m+11 m+0.5 m+0.5 m+0.5 m+11 m+0.5 m+1.5 m=27.5 m。索塔為花瓶型索塔，總高度81.0 m，由于地形較深，在索塔下部有18 m的混凝土主墩。拉索布置形式為扇形雙索面，全橋共設48根、12組斜拉索，斜拉索在主梁上的標準索距為8.0 m，其中，斜拉橋拉索由橋塔到橋臺編號依次為A1～A12。斜拉橋總體布置圖見圖2，斜拉索編號示意見圖3。

圖2 斜拉橋總體布置圖(單位：cm)

圖3 斜拉橋拉索編號圖

2.2 建立有限元模型

全橋共分為191個節點和190個單元(其中梁單元142個，桁架單元48個)。變截面部分采用變截面單元進行處理，該模型邊界條件及連接方式均按照斜拉橋設計情況對支座和連接狀態進行模擬，全橋有限元模型圖見圖4。

圖4 全橋有限元模型圖

斜拉橋主梁、拉索、索塔和鋼筋材料參數表見表1。

表1 材料參數表

將斜拉橋自重、二期恒載和拉索單位初拉力依次添加到模型中。荷載模擬值如下。

1) 自重。自重包括一般梁單元的自重，拉索的桁架單元自重及橫隔板的節點荷載自重，橫隔板節點荷載取185 kN。

2) 二期恒載。二期恒載用連續荷載模擬，取122.5 kN/m。

3) 拉索初拉力荷載。拉索用桁架單元模擬，向每根拉索輸入單位初始拉力1 kN。

斜拉橋邊界條件見表2，表中x、y、z分別為縱橋向、橫橋向和豎向，0表示自由，1表示在地面固結或2個構件之間相互約束。

表2 斜拉橋邊界條件表

2.3 優化目標

斜拉橋理想的控制目標應該使斜拉橋結構充分發揮其材料性能，達到經濟最優化，在該狀態下的索力為最優索力。根據斜拉橋自身特點，在恒載作用下，應盡量使塔頂水平位移和主梁豎向位移最小。因此，以斜拉橋橋塔水平位移和主梁豎向位移最小為目標對索力進行優化，尋求最優的成橋索力。該目標函數可以表達為

min{max[f(x)]}

(10)

式中：max[f(x)]為結構的最大變位值；x為斜拉索初張拉力。

2.4 約束條件

斜拉索在成橋狀態下，每根拉索均受力；考慮到斜拉索強度和疲勞問題，需要限定索力的最大和最小值。因此，斜拉索索力的約束條件可表示為

(11)

式中：x為斜拉索初張拉力列陣；PD為索力在結構自重作用下的列陣；PA為索力在單位索力作用下的影響矩陣；Pmax、Pmin為指定拉索索力最大和最小值。

斜拉橋在成橋狀態下，主梁豎向位移和主塔水平位移是重要指標。因此，斜拉橋設計需要限制主梁和塔頂的位移值，約束條件如下。

(12)

式中：DD為結構在自重作用下的節點位移列陣；DA為節點位移的影響矩陣；Dmax、Dmin為指定節點位移的最大和最小值。

2.5 成橋索力優化結果

根據斜拉橋合理成橋狀態的要求，將索塔塔頂位移、主梁內力和主梁豎向撓度設為約束條件。約束條件如下：主梁彎矩絕對值≤10 000 kN·m；索塔塔頂位移≤10 mm；主梁豎向撓度≤20 mm。通過控制斜拉橋成橋狀態時需要滿足的條件，利用影響矩陣進行索力優化，得出成橋階段最優索力，索力優化結果及設計索力值見表3，優化后的索力見圖5。

表3 計算索力與設計索力對比表

圖5 優化索力折線圖

由圖5可知，斜拉橋每根拉索拉力均為正值，表明每根拉索都處于工作狀態。此外，兩端拉索索力最大，并且拉索索力大小隨著拉索編號的增大而增大，該索力分布形式可以有效提高橋梁承載能力，同時限制索塔塔頂位移，滿足合理成橋狀態下的索力分布規律。根據計算索力與設計索力對比表可得，拉索優化后的索力值與設計索力值非常相近，最大相對誤差僅為3.33%，故采用未知荷載系數法對斜拉索進行優化是合理的。

2.6 成橋狀態下斜拉橋結構驗算

成橋狀態下斜拉橋結構驗算包括：主梁強度和撓度變形驗算、索塔強度驗算和拉索強度與疲勞驗算。由于篇幅所限，在此只展示主梁撓度變形驗算和拉索強度與疲勞驗算。

將優化后的索力值輸入模型中，并添加相應的汽車荷載、溫度荷載，在軟件中進行作用組合并驗算。現取基本組合(1.2×恒荷載+1.0×收縮及徐變引起的二次效應+1.4×汽車荷載+1.05×體系降溫和正溫度梯度)對斜拉橋進行結構驗算，主梁撓度變形驗算結果見表4，拉索強度和疲勞驗算結果見表5。

表4 主梁撓度變形驗算表

表5 斜拉索強度和疲勞驗算表

由表4可知，基本組合下主梁撓度變形最大值為0.112 m，小于斜拉橋規范規定L/500=0.196 m，故主梁撓度變形滿足要求。由表5可知，基本組合下斜拉索最大應力為285 MPa，小于斜拉索控制應力930 MPa和斜拉索應力幅300 MPa，故斜拉索強度和疲勞滿足要求。

3 結語

依托具體斜拉橋項目，以成橋狀態優化的主梁和塔頂位移為優化目標，主梁彎矩為約束條件，采用未知荷載系數法計算斜拉橋最優索力，優化后的索力值隨著拉索編號增大而增大，滿足合理成橋狀態下的索力分布規律，且其與設計值非常相近。同時對成橋狀態下的斜拉橋進行結構變形、強度及疲勞驗算，驗算結果表明滿足規范要求。通過計算證明，未知荷載系數法可以作為斜拉橋索力優化計算的一種有效方式，可以為斜拉橋的設計計算提供一定的依據。