基于空間纜索懸索橋初始平衡態的數值分析方法

謝維超 黃 鵬 銀慶友

(1.中國市政工程中南設計研究總院有限公司 武漢 430014；2.中國中鐵一局集團有限公司第三工程分公司 寶雞 721000)

懸索橋是由主纜、索鞍、加勁梁、吊索、塔墩，以及錨碇等主要構件組成的柔性結構橋梁。由于主纜的“柔性”，懸索橋在施工階段中會出現較大的幾何變形。因此，必須考慮結構的大位移(幾何非線性)特性。同樣在進行成橋運營階段分析時，由于其幾何非線性特性，疊加原理不再適用，導致荷載不能互相組合。這給懸索橋的結構驗算帶來相當大的困擾。

目前對于懸索橋的計算一般采用線性化有限位移法。懸索橋施工階段及成橋運營階段受力的計算結果表明，主纜承受的80%以上的軸力均由恒載產生，恒載以外其他荷載的影響很小。在給主纜及吊索施加了足夠張力的成橋運營階段，其他荷載(車輛荷載、風荷載等)作用下的結構效應顯示為線性。所以在做懸索橋的成橋運營階段分析時，可以將初始平衡狀態下(施工完后的成橋狀態)的主纜和吊索的張力轉換為幾何剛度，對于今后運營荷載做線性化分析。這種方法稱為線性化有限位移法。

因此，懸索橋初始平衡狀態(成橋狀態)是成橋運營階段線性化分析的基礎。由于主纜的幾何非線性特征，懸索橋初始平衡態下的主纜空間坐標及內力求解就變得十分困難。鑒于此，本文介紹一種基于節段懸鏈線方程的空間纜索懸索橋初始平衡態求解的數值分析方法。

1 計算假定

在主纜的分析計算過程中, 采用下列3 條假定[1]。①主纜材料線彈性, 符合胡克定律；②主纜是理想柔性索, 只能承受拉力，截面抗彎剛度對纜形的影響忽略不計；③不考慮變形前后主纜橫截面積的變化，即變形前后的自重集度不變。

基于以上假定, 主纜的自重恒載沿索為恒量, 主纜曲線在自重作用下呈懸鏈線, 且滿足線性應力-應變關系。

2 節段主纜懸鏈線迭代方程

主纜節段受力狀態見圖1。

圖1 上端點為坐標原點主纜受力狀態

圖1中A、B分別為主梁相鄰兩吊索的吊點，以上吊點B點為原點，縱向為X軸，豎向為Z軸，建立直角坐標系。A、B點的縱向距離為L，高差為h。主纜的自重線集為q，沿索長均勻分布。A、B點的主纜拉力分別為TA、TB，取主纜上任一段BC為脫離體，長度為s，C點主纜拉力為T，建立平衡方程(1)和(2)。

∑x=0，Tcosα-TBcosαB=0

(1)

∑z=0，Tsinα+qs-TBsinαB=0

(2)

求解方程(1)、(2)得懸鏈線方程[2]，見式(3)。

(3)

A、B點高差h見式(4)。

(4)

A點斜率kA見式(5)。

(5)

受力后主纜長度見式(6)。

(6)

主纜的無應力索長[3]見式(7)。

(7)

根據上述推導公式可知，若已知主纜B點斜率kB，由式(4)～式(7)可得h、kA、S、Sy。這將是后面整個主纜線形數值迭代的基礎公式。

(8)

(9)

(10)

(11)

圖2 下端點為坐標原點主纜受力狀態

3 懸索橋初始平衡態求解

合理的懸索橋初始平衡態一般是加勁梁以吊索點為支點，表現出多跨連續梁的受力狀態。主纜在橋塔索鞍處邊、中跨兩側的水平力相等。橋塔不受彎矩，處于軸心受壓的狀態。其初始平衡態的求解順序是先求出加勁梁在多跨連續梁受力狀態下各吊索點的支反力，然后以此支反力作為吊索下錨點的豎向力求出吊索在主纜處的上錨點豎向力(吊索上錨點豎向力等于下錨點豎向力與吊索自重之和)，最后根據吊索對主纜的豎向力求出主纜的成橋線形和無應力長度。

利用midas軟件求解初始平衡態的步驟是：首先建立以吊索下錨點為支座邊界的加勁梁模型，利用最小彎曲能量法[4]將加勁梁的抗彎剛度縮小10-4～10-5。在自重及二期恒載下的支反力即為吊索下錨點成橋時的豎向力。同時求出梁的平衡單元節點內力；然后由于吊索內力比吊索自重內力要大得多，計算可先不考慮吊索自重，可取吊索上錨點豎向力與下錨點豎向力相同；最后根據主纜在各吊索點的豎向力求出主纜的成橋線形和無應力長度。由平衡單元節點內力、吊索內力、主纜的成橋線形和無應力長度建立全橋的初始平衡態。

對于空間纜索，不僅要已知吊索的豎向力，還需得到吊索的橫向力。主纜的橫向力可在主纜橫向坐標迭代計算中得出。本文先將主纜的Z向(豎向)坐標和Y向(橫向)坐標分別求解。在此基礎上再將2個方向合并考慮計算，以加快數值迭代收斂速度。

4 主纜的豎向坐標迭代分析方法

在主纜豎向坐標的計算中，主纜的各吊索點的X向(縱向)坐標、后錨點和索鞍處的理想IP點的空間坐標和中跨跨中最低點豎向坐標(垂度)是已知的。由于一般中跨是對稱布置的，所以最低點是在1/2中跨處。

主纜豎向坐標迭代分析的順序為跨中至橋塔，再由橋塔至邊跨后錨點。對于中跨取其一半，采用圖2推導得出的迭代式(8)～式(11)，從下向上計算。具體流程見圖3。

圖3 主纜豎向坐標迭代流程圖

5 主纜的橫向坐標迭代分析方法

空間纜懸索橋主纜具有三維線形原因是主纜橋塔IP點、主纜邊跨后錨點和吊索下錨點這三者的橫橋向位置不在同一直線上造成的。當吊索張拉后，吊索力的橫向分力使主纜向內收緊或向外擴張。整個主纜的平面投影線形為兩吊索間主纜的水平面投影，為直線，各節間主纜水平投影與X軸(縱向)呈不同夾角的折線。

圖4 吊索受力橫斷面圖

圖5為相鄰2節段主纜i、主纜i+1的水平面投影。

圖5 主纜水平受力圖

主纜橫向坐標迭代分析的順序也是跨中至橋塔，再由橋塔至邊跨后錨點。可先給出跨中最低點橫向坐標初始值，依次求出各吊索的橫向坐標直至橋塔處。若橋塔處橫向坐標與計算求解的結果相差較大，則修改跨中最低點橫向坐標直至兩者的差值小于收斂值，迭代收斂結束。

6 主纜的豎、橫向合算迭代分析

對空間纜索而言，由于節段(兩吊索間)只有自重作用，因此，纜段總是在一個鉛垂面上，只是主纜各節段在水平面上的投影與橋軸線的夾角不同[5]。此時，只要將主纜水平力分解為沿橋軸線和垂直于橋軸線2個方向的分力，確定了這2個水平分力，即確定了纜段所在鉛垂面的空間走向，彈性懸鏈線方程在這個鉛垂面上也是適用的。

由于主纜豎向線形計算時，主纜的受力長度和無應力長度未考慮橫向位移影響。在主纜空間線形分析中，節段主纜在縱、橫向坐標迭代的基礎上以水平面投影為方向重新計算即可。本文基于上述方法用Fortran90編制空間纜線形計算程序CSASBSC。以寶雞聯盟路渭河大橋為實例，計算主纜成橋線形，并用midas軟件建立非線性獨立模型檢驗計算結果。

7 實例分析

寶雞聯盟路渭河大橋是一座跨徑為50 m+95 m+200 m+95 m+50 m的自錨式懸索橋。中跨跨徑為200 m，垂度為40 m。邊跨后錨點橫向距離為21.76 m，索鞍IP點橫向距離為25.4 m。后錨點距索鞍IP點豎向高差為49.14 m，距離橋塔的縱向距離為94.5 m。主纜由19股索股組成，每索股由91根直徑為5.3 mm鍍鋅或鍍鋅鋁高強鋼絲組成，鋼絲標準抗拉強度不小于1 770 MPa。加勁梁的一期恒載及二期恒載合計為208.7 kN/m。

利用空間纜線形計算程序CSASBSC可計算出主纜的空間坐標及節段主纜無應力長度，節段主纜無應力長度見表1。

表1 節段無應力長度

各吊索對主纜的豎向力和橫向力見圖6。

圖6 各吊索在上錨點對主纜的節點力(單位：kN)

用midas建立主纜模型，考慮幾何非線性及平衡單元節點內力，計算主纜位移結果，見圖7。

圖7 主纜平衡態位移(單位：mm)

由圖7可見，midas計算位移為0 mm，證明主纜平衡態是正確的。全橋平衡態主梁、主塔彎矩內力圖見圖8。

圖8 全橋平衡態主梁彎矩圖(單位：kN·m)

由圖8可見，主梁最大彎矩為2 439 kN·m，最小彎矩為-2 424 kN·m。主梁彎矩均勻，主塔處于軸心受壓狀態。說明全橋初始平衡態是合理的。

8 結語

本文利用節段主纜懸鏈線方程得出空間纜索懸索橋初始平衡態的數值分析方法。由于實際節段主纜是懸鏈線，因此本文方法具有極高的精度。同時，理論上來說此方法可以得出任何總體布置需求的懸索橋初始平衡態。如中跨跨中無吊索、索鞍高程不同造成的中跨不對稱形式等。對于中跨不對稱形式只需找出中跨的最低點，剩下求解過程就和對稱結構相同了，這些是midas計算軟件無法實現的。這為今后懸索橋形式設計的多樣性提供了可能。