真的難為了八年級學生嗎

莫焯洪

【摘要】在日常解題教學中，選擇一些典型的、貼合學情的試題作為教學素材，善于利用模型解決復雜的題目，有利于發展學生的知識遷移能力和創新能力，提高學生的解題能力。

【關鍵詞】解題模型;十字架模型;一線三等角模型

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）24-198-01

一道好題是命題者絞盡腦汁，從創造到創新到成品，經歷了多次的打磨。筆者當時任教八年級，學習完北師大版八年級第一章《勾股定理》后，選了以下一個假期作業題目，卻在八年級備課組引起了爭議，大部分老師認為難為了八年級的學生。真的是難為八年級學生嗎？且看我是如何看待這個題目的。

1.原題呈現 如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為9，將其沿MN折疊，使得點B落在CD邊上的點B'，點A的對稱點為A'，B'C=3，求AM的長。

2. 模型解題

分析：八年級學生的解法：根據軸對稱的性質：對稱軸MN垂直平分對應點BB'所連的線段，在正方形ABCD中出現十字互相垂直的兩條線段，容易聯想到十字架模型。

2.1 八年級解法之十字架模型

如圖2，連接BB'，過M作MP⊥BC交BC于點P.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，

∴MP=AB，∠MPN=90°，

∴MP=BC，∠MPN=∠BCB'，

由軸對稱可得：MN垂直平分BB'，BN=NB'，

∴∠B'BN+∠BNM=90°，

∠PMN+∠MNB=90°，

∴∠PMN=∠CBB'，∴△MPN≌△BCB'（ASA）

∴PN=CB'=3，

設BN=NB'=x，則NC=9-x，

在Rt△NCB'中，NC2+B'C2=B'N2，

即：（9-x）2+32=x2，解得：x=5，

∴BP=BN-PN=5-3=2，

∴AM=BP=2.

2.2八年級解法之軸對稱性質

分析：如圖3，根據軸對稱的性質：對應線段相等，因此可以利用BM=B'M構造方程。

連接MB'，MB.

由軸對稱得：MB'=MB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=9，∠A=∠D=90°，

∵CB'=3，∴DB'=6，

設AM=x，則MD=9-x，

在Rt△ABM中：BM2=AB2+AM2=92+x2，

在Rt△B'DM中：B'M2=B'D2+DM2=62+（9-x）2，

∴92+x2=62+（9-x）2，

解得：x=2，

∴AM=2.

點評：如何作輔助線是八年級解法之軸對稱性質的難點。

2.3九年級解法之一線三等角模型

分析：如圖4，本題的情景在正方形中，因此會出現比較多的直角，注意觀察CD的同側出現了三個直角，可以聯想到“一線三等角”模型。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C=∠D=∠B=90°，

由折疊得：

∠B'=∠B=90°，

∠A=∠A'=90°，A'B'=AB=9，

∴∠NB'C+∠DB'E=90°，

∵∠DEB'+∠DB'E=90°，

∴∠NB'C=∠DEB'

∴△NCB'∽△B'DE，

∴

由八年級解法之十字架模型易得：

CB'=3，NB'=5，NC=4，

∴DB'=6，DE=4.5，B'E=7.5，

∴A'E=A'B'-B'E=1.5，

如圖5，∵∠A'=∠D，∠A'EM=∠DEB'，

∴△A'EM∽△DEB'，

∴

∴A'M=2，

∴AM=A'M=2，

點評：九年級解法充分利用一線三等角和8字型相似，不用作輔助線，學生較容易想到。

2.4高中解析法

分析：八年級的軸對稱出現了互相垂直的直線，若我們建立平面直角坐標系，利用解析幾何的做法，可以秒殺這個幾何題。

建立如圖6所示平面直角坐標系，

由八年級解法之十字架模型易得：

ON=5，CB'=3，

∴B（0，0），N（5，0），B'（9，3），

設M（a，9），

由軸對稱得：MN⊥BB'，

∴kMN ×kBB'=1，

即：

解得：a=2，

∴AM=2.

點評：初中追求解法自然，追求嚴謹的邏輯推理能力，高中的解析法是高中解決平面幾何常用的方法的，雖然它的簡便是初中解法不能比擬的，但這里只作介紹，不深入探討。

3.解題反思

題目是好題，方法多樣，讓學生理解并掌握模型學習，我相信學生的解題能力，建模能力和知識遷移能力會進步得更快。那如何讓學生有完備的知識結構？如何提高學生的解題能力？我認為多給學生呈現好題，讓學生吃透模型，這樣學生就能通過新舊知識的聯系，豐富自己的解題經驗和經歷，學會舉一反三。