我形我數(shù)，凸顯本質(zhì)
——幾何直觀在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維中的價(jià)值窺探

江蘇省常熟市商城小學(xué) 邵月芳

小學(xué)階段，學(xué)生的思維處于具體形象思維向抽象思維過渡的重要階段，但形象思維仍占主導(dǎo)地位。在現(xiàn)行修訂的蘇教版教材中，我們也不難發(fā)現(xiàn)，各種實(shí)物圖、各式圖形及簡(jiǎn)約符號(hào)等隨處可見，直觀性強(qiáng)成為本套教材的一大亮點(diǎn)。“形”與“數(shù)”形影不離，成為數(shù)學(xué)的兩塊大基石。再來看看《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》，幾何直觀作為十大核心概念之一，充分體現(xiàn)了幾何直觀的價(jià)值。在教學(xué)中，教師應(yīng)該充分利用幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，通過想象、推理、比較等培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，直覺洞察能力，和主動(dòng)使用圖形的意識(shí)和習(xí)慣，從而提高問題探究的興趣，有效理解概念本質(zhì)，加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。

一、善用幾何直觀發(fā)揮想象，精心預(yù)設(shè)提高研究興趣

愛因斯坦說過：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且它是進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素。”通過直觀的圖形開展想象，可以大大提高學(xué)生研究問題的興趣。

在進(jìn)行六年級(jí)“平面圖形總復(fù)習(xí)”一課的教學(xué)時(shí)，我設(shè)計(jì)了“回憶再現(xiàn)來溫故”“系統(tǒng)梳理悟轉(zhuǎn)化”“應(yīng)用拓展促知新”和“反思總結(jié)談收獲”四個(gè)復(fù)習(xí)板塊。在第二板塊中，為了加深對(duì)轉(zhuǎn)化思想魅力的體悟，我講述了從前一個(gè)部落只有梯形面積計(jì)算公式的故事情境，啟發(fā)學(xué)生思考如何求其他圖形的面積。我還借助幾何畫板出示一個(gè)可以動(dòng)態(tài)拉動(dòng)的梯形，讓學(xué)生發(fā)揮想象。隨后通過動(dòng)態(tài)演示，直觀獲得變化形成的三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形。之后，我又引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)梯形面積公式逐一得到這三種圖形的面積計(jì)算方法。學(xué)生從中體會(huì)到了這種“特殊的轉(zhuǎn)化”的奇特之處。在這個(gè)故事結(jié)束時(shí)，我又巧妙地拋出了這樣的問題：“此時(shí)，你對(duì)梯形面積公式有什么新的認(rèn)識(shí)？你想對(duì)梯形說什么？”學(xué)生此時(shí)不禁說出：“太神奇了，這樣看來，我們之前的平面圖形面積之間的關(guān)系圖不是可以改一改了，改成用梯形推導(dǎo)出其他圖形的面積。”

穿梭于圖形和文字之間，幾何直觀發(fā)揮著重要的作用。老師應(yīng)該利用圖形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、想象，并獲得數(shù)學(xué)結(jié)論或新的猜測(cè)。

接著“平面圖形總復(fù)習(xí)”一課的教學(xué)，在“應(yīng)用拓展促知新”板塊中，我又一次借助幾何直觀的魅力，讓孩子們進(jìn)行大膽猜測(cè)，發(fā)揮想象，將轉(zhuǎn)化思想推到了新的高度。我設(shè)計(jì)了如下求橢圓面積的問題。

這個(gè)問題看似有拔高要求之嫌疑，但是我想說，本課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，很大程度是要看學(xué)生對(duì)“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗(yàn)的自覺調(diào)用和自我提升。實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)我提出“你有辦法求出橢圓的面積嗎？”這個(gè)問題后，一部分學(xué)生很自然地就想到數(shù)格子的方法，也有一部分學(xué)生提出要轉(zhuǎn)化來求，但思維受到一定阻礙，沒法實(shí)現(xiàn)成功轉(zhuǎn)化。此時(shí)，我有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：“橢圓的面積計(jì)算，你覺得可能和哪個(gè)圖形的面積計(jì)算最相似？”學(xué)生自然聯(lián)想到圓形。我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察：“圓的面積公式中半徑的平方表示什么？”喚起學(xué)生對(duì)圓中半徑為邊長(zhǎng)的正方形的再現(xiàn)，從而歸納出：其實(shí)圓的面積是這個(gè)正方形面積的π 倍。順勢(shì)，我就引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：“橢圓中是不是也有這樣相似的情況呢？”當(dāng)場(chǎng)，就有一個(gè)男孩子興奮地說出了他的大膽猜測(cè)，這是學(xué)生經(jīng)歷的第二次“思維風(fēng)暴”。此時(shí)，“轉(zhuǎn)化”思想或者說經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)深入學(xué)生內(nèi)心，很多孩子品嘗到了轉(zhuǎn)化的甜頭，我的設(shè)計(jì)也因此順利達(dá)到了預(yù)設(shè)的目標(biāo)。

二、巧借幾何直觀展開推理，多向聯(lián)系活化概念理解

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中，教師要全面通過幾何直觀的數(shù)學(xué)思維過程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本構(gòu)成單位，是“四基”教學(xué)的核心內(nèi)容，是進(jìn)行邏輯思維的第一要素。為此，在概念教學(xué)中，嘗試通過展開推理，借助已有直觀經(jīng)驗(yàn)，可以幫助活化概念本質(zhì)的理解。

例如教學(xué)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”時(shí)，在綜合練習(xí)部分，通過設(shè)計(jì)“我來當(dāng)裁判”的實(shí)際運(yùn)用，來考查學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)這一概念本質(zhì)的理解。

師：學(xué)校對(duì)四年級(jí)男生進(jìn)行了雙飛跳繩測(cè)試，達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?0 個(gè)。（出示統(tǒng)計(jì)圖，依次出示幾位同學(xué)成績(jī)的記錄。）

師：李斌的成績(jī)記作-4。你覺得他達(dá)標(biāo)了嗎？

生：沒有。

師：為什么？

生：因?yàn)樗冗_(dá)標(biāo)成績(jī)少了4 個(gè)。（結(jié)合學(xué)生回答條形圖演示比達(dá)標(biāo)個(gè)數(shù)少4 個(gè)）

師：那陳軍達(dá)標(biāo)了嗎?（教師指著表格中的5 問，此時(shí)意見不統(tǒng)一，舉手表決）

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種不同的觀點(diǎn)，怎么辦？同桌先討論一下。

師：現(xiàn)在請(qǐng)雙方各派一名代表來闡述一下你的理由。

生1：我方認(rèn)為陳軍沒有達(dá)標(biāo)，因?yàn)? 小于10。

生2：我方認(rèn)為陳軍達(dá)標(biāo)了。這個(gè)5 是記作5，它表示比10 個(gè)還多5 個(gè)。

生3：我再來補(bǔ)充一下，這個(gè)5是+5 的意思，因?yàn)檎龜?shù)前面的正號(hào)可以省略。

師：現(xiàn)在你們同意他們的觀點(diǎn)嗎？陳軍實(shí)際跳了幾個(gè)？（詢問后，條形圖演示比達(dá)標(biāo)個(gè)數(shù)多5 個(gè)）

師：張華的成績(jī)記作什么？

生：記作0。因?yàn)樗某煽?jī)正好達(dá)標(biāo)。（結(jié)合學(xué)生回答條形圖演示記作0）

師：三位同學(xué)的成績(jī)分別記作-4，5，0，體育老師為什么這么記？

小結(jié)：可以清楚地看出和達(dá)標(biāo)成績(jī)的差距。

在上述這個(gè)練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師巧妙地將條形統(tǒng)計(jì)圖作為幾何直觀的圖形，輔助學(xué)生進(jìn)行推理和思維，牢牢扣住標(biāo)準(zhǔn)個(gè)數(shù)，圖中用紅色的虛線標(biāo)注十分醒目，突出了負(fù)數(shù)概念中關(guān)于“標(biāo)準(zhǔn)0”這一本質(zhì)特征。在此，利用數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生深化對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，而且也巧妙地為下節(jié)課進(jìn)一步研究負(fù)數(shù)做好了準(zhǔn)備。

三、依托幾何直觀組織比較，抽象提煉數(shù)量關(guān)系模型

數(shù)量關(guān)系具有高度的抽象性，是具體情境中概括出來的。徐利治先生提出：幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。利用幾何圖形的直觀對(duì)問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表述，幫助學(xué)生分析問題和解決問題！這是一種非常重要的策略。

常見的數(shù)量關(guān)系是過去小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，修訂教材對(duì)此項(xiàng)內(nèi)容引起高度重視。在“常見的數(shù)量關(guān)系”一課教學(xué)時(shí)，原本教材只是靜態(tài)地呈現(xiàn)了兩組數(shù)量關(guān)系的例題，我對(duì)此進(jìn)行了改造，充分挖掘?qū)W生購(gòu)物素材，采擷生活中的數(shù)學(xué)原型。本課中的單價(jià)標(biāo)簽和購(gòu)物小票等（如下圖所示），把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置身于生動(dòng)有趣的活動(dòng)中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有趣、有用、好學(xué)。特別是借助購(gòu)物小票中幾種商品的單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)三欄信息，通過引導(dǎo)學(xué)生自主交流，發(fā)現(xiàn)小票中所蘊(yùn)含的豐富的信息和數(shù)量關(guān)系，并通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生聯(lián)系線段圖初步理解其中隱含的數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生掌握了單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的乘法數(shù)量關(guān)系后，我安排了“去哪家買果汁便宜”的購(gòu)物情境，一方面讓學(xué)生用乘除法之間的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)掌握求單價(jià)的數(shù)量關(guān)系，另一方面巧妙地從單價(jià)“元/瓶”的聚焦，讓學(xué)生萌生“為什么單價(jià)的單位要用復(fù)合單位”的疑問，在學(xué)生提出問題后，教師巧妙借助多媒體動(dòng)態(tài)演示將“元/瓶”中的“/”變化成“÷”的過程，讓學(xué)生形象理解其中隱藏的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)幾何直觀一箭雙雕的作用！

借助幾何直觀把抽象的數(shù)量關(guān)系用畫圖的形式表達(dá)出來，是“去情境化”的過程，是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。它把情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并且直觀表達(dá)，然后運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型解決類似的問題，形象思維由圖形帶來的直覺，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，增強(qiáng)其創(chuàng)造能力。化抽象為直觀，化內(nèi)隱為外顯，教師依托幾何直觀的方法從冗長(zhǎng)的、大量的問題情境中剝離出共同的數(shù)量關(guān)系，從而讓學(xué)生聚焦目光、聚焦問題、聚焦思維，從而數(shù)學(xué)化地解決問題，提高課堂教學(xué)效率。