多變量函數問題解題策略研究

李建華

摘要：高考中對函數問題的綜合考查常以壓軸題出現，綜合考查學生的數學思想和數學能力，但又不外乎考查函數單調性、極值、函數零點和最值、不等式恒成立及證明函數不等式問題等常見題型，在這些題型中卻又經常會涉及雙變量或多變量函數問題，對于這類問題，考生往往不知如何入手，有些考生做過相關練習，但只要條件一變，又會無從下手，針對此，特精心挑選了幾個典型例題進行講解、歸納、對比，從中歸納出兩種有效的常用解題策略及途徑。

關鍵詞：輪換;同構;非同構;構造

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A ?文章編號：1003-9082（2020）07-00-01

函數是整個高中數學的核心，貫穿于整個高中數學教材，也是高考重點考查的知識點之一，既有主觀題，也有客觀題，客觀題更是以壓軸題的形式出現，通過對函數知識的考查來考查學生的數學思想和數學能力。但主要題型還是函數單調性、極值、零點和最值，不等式恒成立和證明不等式問題，對于這些問題中的常見題型，學生一般都掌握得不錯，但對于雙變量或多變量問題，學生大都能聽懂但不能掌握，特挑選以下例題做一分析對比總結，希望對考生有所幫助。

題型一、同構式變形構造新函數.就是將不同的變量放入了同一個關系式，但可將這個關系式視為一個函數，關系式與變量大小之間的關系靠函數的單調性進行聯結，實現了將不等式問題轉化為函數單調性問題。

例1;已知函數，x∈（0，+∞），當x1

A.（-∞，e） B.（-∞，e] C. D.

分析：此題顯然是常見的不等式恒成立求參數的取值范圍問題，一般是要分離參數轉化為求函數最值問題，或利用不等式轉化為函數單調性問題。由所給條件結構形式，很明顯含有雙變量，且屬于輪換對稱式，只需將其進行同構變形，轉化為單調性問題來解決，我們會看到，其最終目的是轉化為單變量（常見）函數問題。由0

反饋練習;已知。

（1）討論的單調性;

（2）設，求證：

x1x2∈（0，+∞），。

留給讀者解決，提示：觀察所證不等式為雙變量且為輪換對稱式，又x1，x2任取，進而可定序x2>x1，再由第（1）問單調性可去掉絕對值符號，實現同構變形。

但有些雙變量、甚至更多變量問題，其所給條件或結論表面上是否屬于輪換對稱式就非常不明顯，這就給學生解決問題帶來了障礙，事實上，高考對函數的綜合考查，無論是雙變量或更多變量問題最終還是要轉化為單變量函數問題來解決，轉化的手段基本就是同構變形構造新函數，或者是利用條件和結論變形消元構造新函數，從而轉化為常見函數問題來達到解題目的。

例2;已知函數。

（1）當a=-2時，求曲線在點處的切線方程;

（2）若有兩個極值點x1，x2且x1e2。（同構變形構造新函數）

分析：（1）省略;

（2）該題含有雙變量及一個參數，但所證結論結構上顯然不是輪換對稱式，故不能直接進行同構變形，這就使許多學生看似似曾相識，卻又無從下手。若從條件式結構看，就知道要對所證結論先進行變形，從而找到解題突破口，具體如下：

∵x1，x2是得兩個極值點，且x1

∴有，∴，

從而，再往后就有了解題思路了，要證x1x2>e2，兩邊取自然對數，即證，亦即證明

即可，此式結構顯然是雙變量輪換對稱式，可進行同構變形構造新函數來解決，即不等式左邊分子分母同除以x1得，令，則有，亦即，令，則在t>1時恒成立，即g（t）在（1，+∞）上單調遞增，∴g（t）>g（1）=0恒成立，從而原命題x1x2>e2成立。

題型二、非同構消元變形構造新函數。

例3;已知函數，其導函數的最大值為0。

（1）求實數的值;

（2）若，證明：x1+x2>2。

分析：對于問題（2），無論從條件還是結論的結構形式，雖然涉及雙變量，但顯然無法進行同構變形，那么對于多變量函數問題，那就必須消元構造新的函數，這就是在這里要重點強調的對于這類問題的另一種解題途徑。特別地，若是雙變量不等式問題，可充分利用函數單調性來消元。

反饋練習 讀者可自行練習2016年新課標卷Ⅰ、2018年新課標卷Ⅰ第21題，體會雙變量消元構造新函數的思想方法。

至此，你會發現，對于復雜的多變量函數問題的解決方法基本就是上述兩種途徑，只要多加練習體會，還是可以掌握的。