借助點子圖 架起連接算理和算法的橋梁

摘?要：由于算理對于學生來說，比較抽象，且難以理解，這就加大了算理教學工作中的難度。如何將算理的講解更加具體化，通過形象化的方式使學生進行直觀的感受，是當前教學中的重點。通過直觀的模型教學，將算理知識進行有效傳授，能夠幫助學生加深對其理解與運用，這是教學過程中必須落實的內容。

關鍵詞：模型;理解;算理

目前，小學階段的教學還是以基礎為主，而計算就是小學數學的核心。不同于其他學科的直觀感受，算理教學相對來說是比較抽象。不恰當的教學方式，將直接影響著教學的效果。當前的教學中亟需分析教學現狀，運用科學合理的教學方法，保障教學內容的落實。

一、?學生常常“講法”不“講理”

小學階段的計算教學，需要的是學生對計算的方法和其中的邏輯關系進行理解，而不是簡單記住算法。但在課堂教學過程中，經常會使算理教學變得抽象化、邊緣化。

我們在教學質量檢測過程時，時常會出現類似下面的題目（圖1）：

筆者隨機對其中的53名學生的情況進行了統計，結果如下：其中計算正確的學生有35名。通過對學生的深入了解，大部分學生都能準確掌握計算的方法，包括數位對齊、用誰乘就和誰對齊等。如果讓其分析原因，則大部分學生處于模糊狀態或根本不理解，或換個方式提問寫成圖2的形式，很多學生就不能判斷出其正確與否了，在錯誤的同學中有兩名學生對數位對齊還沒有掌握。

這樣寫可以嗎？

二、?教學可以“一圖抵百語”

在區里的一次備課會上，安排了一節“兩位數乘兩位數”的計算課。“如何通過合適的方式促進學生對算理的理解，讓學生既理解算理又掌握算法？”這引起了筆者和許多與會教師的思索與關注。

一位教師創設了一個“學校舉行體操比賽”的情境，然后出示方陣圖（圖3），讓學生了解信息，提問交流后解決“一共多少人？”的問題。在解決上述問題的過程中，學生展示出不同的想法，以下是部分學生的結果：

面對新的問題，學生①至③（圖4至圖6）都是借助點子圖，通過相應的轉換方法，把并不熟練的算式改寫成熟悉的乘法算式。同樣也有學生進行了轉換，學生④（圖7），通過自己的想法，運用了乘法分配律將12拆分成了10和2，學生⑤（圖8）寫出了正確的乘法豎式。

三、?應用直觀模型的策略

（一）適時呈現，解釋疑惑

如筆者在教學三年級“口算乘法”一課時也是讓直觀模型“姍姍來遲”的：先創設“小明和同學3人去游樂園玩”的情境，接著讓學生提出并解決玩不同項目需要多少錢的問題。學生列出算式后，讓學生嘗試計算20×3，學生想出了“吃0還0”的計算方法，并用加法驗證是可靠的。就在學生洋洋得意的時候，筆者拋出問題：“你們能說說這樣計算的道理是什么嗎。”在學生想用語言表達又表達不清楚之后，老師出示了小棒圖、計數器，“看看老師帶來的圖能不能幫助表達你們的意思。”課件演示捆綁過程（圖9）并在計數器上表示（圖10）。

學生聯系小棒圖和計數器理解了“吃0還0”法計算背后所蘊藏的算理。

（二）變化對比，突顯結構

我們向學生呈現直觀模型時，及時進行變式對比，能加深算理理解，促進學生建構清晰的知識體系。如有位老師在教學“乘法分配律”一課時，為了幫助學生突破難點，理解規律的特定模型，是這樣進行教學的：

師：（將圖11展示給學生看）根據圖中信息求總塊數，誰可以列出綜合算式？

生：可以用算式（3+4）×5，也可以用算式3×5+4×5。

師：誰能告訴我在這兩種算式中，分別是先求的什么，后求的什么呢？

生：算式（3+4）×5，是先求的所有方塊一共7行，后求出總塊數。（用圖13進行講解）

生：算式3×5+4×5，是將白色和灰色的方塊單獨求出，后求出他們的和。（用圖12進行講解）

師：你們認為這兩種算法哪個正確，請說明理由。

生：都正確，它們都能算出最后的總數。

師：雖然這兩種算式有著一定的區別，但都是表示7個5塊的意思，因此我們可以通過等號將它們連接，形成等式。

（三）組合應用，多元理解

當學生面對一個問題，主動聯系生活背景思考問題，也是一條直觀的途徑。清華大學附屬小學的張紅老師在教學“小數除以小數”時，向學生“打包”提供了生活原型和直觀模型：

以圖14的5.1÷0.3為例，為了帶入學生思考，引導學生理解，教師可以通過多種形式的題型進行全方位理解：

題型一：現有一根繩子，全長5.1米，需要將其分為0.3米的小段繩子，一共能分幾段？

題型二：每塊橡皮0.3元，明明手上有5.1元，可以買幾個這樣的橡皮？

題型三：在5.1里面有幾個0.3，請圈出來。（圖15）

在老師的引導下，學生借助生活原型為例進行了說明商應該為17。而后，學生依靠在直觀模型上圈一圈（圖16），對算理進行了解釋：首先將5.1進行分析，判斷其有51個0.1，然后分析0.3，得出有3個0.1。如果想要計算出5.1中0.3的個數，那么就是要求51中有幾個3，最后得出17.顯然，這些“打包”材料為解題有困難的學生提供了思考背景，為完成的同學提供了反思背景。學生自然借助生活原型解決了怎么算的問題，依靠直觀模型解釋了為什么這樣算的問題。

“一圖抵百語”，直觀模型抓住了“形”與“理”之間的聯系，以“形”的方式，將“理”進行有效的展示出來。通過直觀的教學，幫助學生清楚方法的同時，對算理進行掌握。

參考文獻：

[1]張紅.讓知識成為學生的真正營養：“除數是小數的除法”教學與思考[J].小學教學：數學版，2007（9）：20-22.

[2]沈惠芬.對計算教學的再認識：解讀特級教師丁杭纓“筆算乘法”一課[J].小學教學：數學版，2008（3）：20-21.

[3]劉加霞.作為“模型”的乘法：對數學概念多元表征的思考[J].小學教學：數學版，2008（10）：46-48.

[4]侯正海.在理解算理的基礎上構建算法[J].小學數學教師，2010（7，8）：134-143.

作者簡介：蘇微丹，福建省三明市，三明市實驗小學。