基于分數階微分的白平衡水下圖像增強

鄒蔓婷

（四川大學計算機學院，成都 610065）

0 引言

水是接近于無色的，但是水下拍攝的圖像會呈現出藍色或者綠色，這與光的特性有關。人類所感知的顏色是由物體反射光的性質決定的[1]。在地球表面非水下的部分中，光線的傳播介質主要為空氣，然而在水下的部分，光線經過的主要介質是水。不同于光在空氣中的發生的均勻吸收和散射[2]，水下環境特殊的物理和化學特性嚴重影響了水下圖像的質量，給水下成像帶來了更多需要被克服的問題。水下圖像總是呈現偏色，如綠藍色，這是由于紅，綠，藍光衰減比不同造成的。另外，這些粒子在水下場景反射的光線到達攝像機之前，懸浮顆粒水下吸收了大部分的光能，改變了光線的方向，導致圖像對比度低，失真和模糊。

白平衡算法是經典的顏色校正算法，該算法在水下圖像顏色的校正值效果顯著，但是，由于該算法未考慮對紋理細節的增強，校正后的水下圖像存在模糊等問題，本文的研究目標是為了進一步提高水下圖像質量，嘗試將分數階微分的思想與用于水下圖像顏色校正的白平衡算法結合，利用各自的特點和優勢，在兩種不同的方法之間找到了有利的平衡和折衷，實現了一種基于分數階微分的水下圖像增強技術。

圖1 典型水下圖像

通過推導分數階微積分的數值實現方法，Pu[3]為分數階微分在圖像處理中的應用奠定了工程基礎，并證明和分析了分數階微分在圖像處理中的優勢。Sanjay等人[4]的解釋了一種新的邊緣檢測算法，它是由分數階微分算子并通過使用分數階傅里葉變換得到的。最近，Pu 等人[5-6]利用分數階微分濾波器對圖像進行增強。構造了基于分數階微分的掩模與分數階Retinex框架，證明了分數階在圖像處理中具有更好的增強效果。Yu 等人[7]提出了基于八個方向的分數階微分的紋理增強方法。Sridevi 和Kumar[8]利用基于Caputo 定義的分數階導數對圖像進行增強。

Saadia 和Rashdi[9]介紹了一種自適應的圖像增強技術，自動選擇每個像素的分數階。該方法在梯度幅值大、階數小的情況下，選擇較高的分數階。高朝邦等人[10]將分數階微分算子應用于四元數，對分數階微分算子進行了推廣，并開發了一套掩膜，稱為四元數分數階微分算子（QFD）。

與整數階算子不同，由于分數階微分算子特有的弱導性，在對信號高頻信息進行提升的同時，相比于整數階微分算子，可以保留更多的低頻信息，因此，在保存圖像紋理細節方面有著獨特的優勢。在此基礎上本文提出了一種改進的基于分數階微分的白平衡水下圖像增強方法。將增強一幅水下圖像主要有兩個步驟。①求取基于分數階微分算子增強的水下圖像；②將增強后的水下圖像進行白平衡校正。能夠極大地提高水下圖像的對比度和清晰度，而且算法的復雜度低、運行速度快。

1 白平衡算法

白平衡是數碼相機處理中的重要步驟，在數碼相機中用于在各種照明條件下調整像素的顏色。當使用不同光源進行照明時，設備會從同一物體上采集到的白色，由于色溫的影響，圖像的顏色會有很大差異[11]。色溫是溫度的單位。與認知中的冷色和暖色不同，紅色的色溫最低，藍色的色溫最高。例如，在晴朗的藍天下拍攝物體時，由于色溫較高，圖像看起來會更冷[12]。對于同一被攝對象，由于在黃昏拍攝時色溫較低，因此圖像看起來較暖。白平衡算法是基于色溫的對顏色進行校正的方法。該算法是基于Von Kries 模型開發的，并且通過更改每個通道的色彩增益來進行色彩校正，如以下公式所示：

式中，L、M、S 表示色彩的初始值，kL、kM、ks分別為L、M、S 的增益系數。通常，取RGB 顏色空間中的三個顏色通道作為公式（1）中的初始值，可得：

根據確定增益系數的方式，出現了許多不同的白平衡算法。目前常用的白平衡算法有Gray World、max-Gray、shades of Gray 和 Gray Edge 算法。

1.1 Gray World算法

該算法基于灰色世界假設，該假設認為在一幅彩色圖像中，其RGB 三個通道灰度的平均值趨近于同一個值從物理的角度可以描述為，灰度世界假設物體反射光線的均值是固定的，這個值就是“灰色”。一副彩色圖像的RGB 均值就是這個相等的“灰色”。可以表示為：

通過增益系數均衡紅色（R）、綠色（G）和藍色（B）通道的平均值實現對顏色的校正。由式（2）可知，顏色校正后的圖像可以表示為：

1.2 max-Gray算法

max-Gray 算法基于White Patch 假設。該假設認為，如果圖像中包含白點或者白色區域，由于白色可以反射物體的光照，那么，RGB 分量中最大的值將被作為該分量的光照顏色。用公式可以表示為：

式中，f(X) 表示圖像的像素點，e 表示光照，k 表示校正光照的常數。根據上式可以計算出RGB 三通道各自的最大值Rmax、Gmax、Bmax。增益系數可以表示為：

該算法最大的優點是計算簡單效率高，但是由于該算法是基于圖像中包含白色區域，當圖像未包含白點或者白色區域時，算法就顏色校正效果并不明顯。

1.3 Shades of Gray算法

該算法是在Gray World 算法中引入了閔可夫斯基距離（Minkowski Distance），用閔氏距離代替灰度世界算法中簡單求均值的方法。可以表示為：

特別地，當p 的取值為1 時，上式表示灰度世界算法；但p 的取值為∞時，上式表示Max-Gray 算法，等價于求f(X)的最大值；當 p 的取值在（1,∞）時，就是常規的Shades of Gray 算法。Finlayson 等人證明了當p的取值為6 時，該算法效果最好。

1.4 Gray Edge算法

該算法是一種更通用的白平衡算法，基于自然界所有物理表面的平均反射差分是固定的假設，同樣基于閔氏距離，兼容了上述算法?？梢员硎緸椋?/p>

式中，fσ(X)=f?Gσ，表示圖像與高斯濾波Gσ的卷積表示對 X 求導運算，選擇不同的n,p,σ參數，可表示上述不同的算法。

該類算法原理簡單，通過利用圖像的統計特征來學習光源的特性，非?？焖?，而且算法適用性強，但是存在的問題是，它是在灰色世界假設的基礎上進行的，所以有時應用受到限制，應用效果不是很好。

2 分數階微分數學基礎

2.1 分數階微積分的基本定義

分數階導數（Fractional derivatives）有很多定義方式，常用的定義方式有 Grünwald-Letnikov、Riemann-Liouville 和 Caputo 分數階導數等[13]。

（1）Grünwald-Letnikov 定義：

式中，G 表示 Grünwald-Letnikov，v 表示階數，a 是時間t 的初值。

（2）Riemann-Liouville 定義：

（3）Caputo 定義：

式中，Γ（*）表示伽馬函數。Grunwald-Letnikov 定義和Riemann-Liouville 定義都是由整數階微積分直接拓展而來的，對一般的函數而言，G-L 與R-L 定義是等價的。Caputo 分數階導數定義主要側重于非零初值，分數階導數含有更豐富的信息量，而Grunwald-Let?nikov 微積分定義更適合于數值計算，所以本文將采用Grunwald-Letnikov 定義，將基于分數階微分應用在水下圖像增強中。

2.2 分數階掩膜

根據R-L 定義式，可以推導出一元信號分數階積分的差分表達式為：

由上式可知，差分方程的前n 項系數為：

由于數字圖像是二維離散的信號，要構造出二維圖像分數階微分的數值實現算法，首先，必須了解分數階微分對信號的作用規律[14]。

為了實現對圖像的微分操作，把微分公式擴展到二維，分別從八個方向對圖像進行計算。構造Tiansi掩膜算子，如表1 所示。

表1 分數階微分掩膜算子

這里，分別給出了3×3 大小的分數微分模板和分數Tiansi 算子模板（即5×5 分數微分掩模算子）。如表2-表 3 所示。

表2 3×3 分數階微分模板

表3 分數階微分Tiansi 算子模板

信號函數f(t)∈L2(R)的傅里葉變換可以表示為：

f( )t的整數n 階導數可以定義為：

將上式中的整數n 階推廣到分數v 階，其分數v階導數f(v)(t)(v∈R+)，根據傅里葉變換的性質有：

式中，w表示頻率，w?( 0,1) 表示低頻，在圖像中表示紋理細節變化不明顯的部分；w＞1 表示高頻，在圖像中表示邊緣或者灰度變化明顯的區域。根據公式（12）、（14）可繪制分數階微分幅頻特性曲線和二維圖像分數階與整數階微分對比，如圖2 和圖3 所示。

圖2 分數階微分算子的幅頻特性

圖3 二維圖像分數階與整數階微分對比

由圖可見，當微分算子階次為0 時，微分算子并不改變信號。除0 階外，分數階和整數階微分算子都對信號進行了增強，且增強幅度隨頻率和階數非線性增加。一階與二階微分算子都可以增強信號，二階相比于一階，雖然低頻信號的增強幅度很弱，但高頻信號的增強幅度非常明顯。在w?( 0,1) 的低頻部分，分數階微分算子具有比整數階（v=1,2）更高的信號提升幅度，由圖3 可知，在二維圖像中保留了更多的紋理細節；在w＞1 的高頻區域，分數階微分算子雖然略低于整數階微分算子，但也可以對信號幅度進行改善。由此可以看出，分數微分算子具有弱導數性質，不僅對中高頻信號的幅度進行了增強，也保留了信號的低頻部分。

3 實驗結果及分析

上一節本文介紹了分數階微分弱導性，對圖像的低頻信號有較好的提升效果，因此本文分別采用3×3、5×5、7×7 的分數階掩模算子對水下圖像進行增強，經過實驗對比，選擇V=0.3 和0.5 階時對水下圖像增強處理是最有效的。

圖4 左側是原始圖像與放大后的局部信息，右側是經過大小為5×5、0.5 階微分處理后的圖像，可以看出水下圖像出現了更多的紋理細節，放大后，像素點更密集，證明了分數階微分在水下圖像中的增強效果。

圖4 原始圖像與分數階微分圖像

通過對本文提及的白平衡算法進行仿真，雖然，上述白平衡方法能在一定程度上恢復色偏問題，對水下圖像的對比度都頗有改善，但是校正后的圖像還是模糊并且亮度較低。因此本文將采用改進的白平衡算法對水下圖像進行增強，圖5 是上述算法對經典水下圖像的處理結果。

圖5 白平衡算法對比圖

原始圖像具有典型水下圖像的特征，光在水中發生吸收和散射，出現色偏和模糊的問題。經過Gray World 算法校正后顏色偏藍；max-RGB 算法顏色校正效果不明顯，并且處理后的圖像模糊程度加劇；Shades of Gray 處理效果與Gray World 算法接近，校正后的圖像偏藍色調。Gray Edge 算法提升了水下圖像的亮度，校正后圖像顏色任然呈現藍綠色。經過大量試驗，在水下圖像中使用大小為5×5，0.5 階的掩膜算子對圖像進行預處理，再進行白平衡算法，水下圖像的對比度大大提升，并且圖像呈現出更多的紋理細節，主觀上看可以獲得更好的水下圖像顏色校正效果，由此可知，本文改進的白平衡算法更適用于對水下圖像進行色彩的校正。

為了進一步證明分數階微分掩膜在水下圖像上的增強效果，本文選取信息熵以及無參考的水下圖像質量標準UCIQE 和UIQM 進行對比。其中，信息熵越大，圖像包含的信息越多；對比度越強，物體的細節越清晰；UCIQE 和UIQM 的數值越大，水下圖像的增強效果越好。采用MATLAB R2017b，Windows 10 計算上述圖像評價指標，實驗結果如表4 所示。

表4 本文算法與經典白平衡算法的質量評價對比

實驗結果（見表4）表明基于分數階微分的白平衡算法處理后的水下圖像的UCIQE、UIQM 和信息熵指標均有所提升。證明了此方法可以有效地提升水下圖像的紋理細節，使水下圖像的色彩信息更加豐富，同時能有效地改善水下圖像色偏問題，顏色逼真更符合人眼的視覺效果。

4 結語

在充分考慮了水下環境的特殊性后，本文介紹了經典的白平衡算法，對該算法結合分數階微分的思想進行改進，根據分數階微積分的G_L 定義式，推導出分數階掩膜算子，將分數階微分算子構造的掩膜應用于水下圖像增強中，與傳統的水下圖像增強方法進行了比較，通過實驗該證明了分數階微分算子在水下圖像增強中的優勢，基于分數階微分的白平衡算法對顏色的校正有更好的效果，既保留了圖像的紋理細節，提高了圖像的對比度，也改善了水下圖像偏藍偏綠的問題，得到了良好的水下圖像增強結果。證明了分數階微分算子可以在水下環境中保留更多的紋理細節，對水下圖像增強算法具有非常重要的意義。