數形聯手來指路

劉家良

[原題再現]

例（2020·江蘇·南通·第21題）如圖1，直線l1：y = x+3與過點A（3，0）的直線l2交于點C（1，m），與x軸交于點B.

（1）求直線l2的解析式;

（2）點M在直線l1上，MN[?]y軸，交直線l2于點N，若MN = AB，求點M的坐標.

[考點剖析]

1.知識點：兩直線的交點坐標、待定系數法、與坐標軸平行的直線上點的坐標特征、與坐標軸平行的直線上的兩點間的距離公式、列方程（組）、解方程（組）.

2.思想方法：數形結合思想、分類討論思想、待定系數法.

3.難點：在直線l1上取點M，需考慮其在點C的左右兩側的情況;用兩點坐標的差表示與坐標軸平行的直線上兩點間的距離，需要弄清哪一個點的橫（縱）坐標是被減式，哪一個點的橫（縱）坐標是減式.

[學情分析]

（1）求直線l2的解析式，需已知直線l2上的兩點坐標. 由題意知點A（3，0），C（1，m）是直線l2上的兩點，那么如何求m值呢？這就需要理解兩條直線交點坐標的意義，即交點的橫、縱坐標分別是兩條直線相對應的一次函數式中的x，y.

解：設直線l2的解析式為y = kx+b.

∵點C（1，m）是直線l1和l2的交點，

∴點C（1，m）既在直線l1上，又在直線l2上.

∵點C（1，m）在直線y = x+3上，∴m = 1 + 3 = 4，∴C（1，4）.

∵點A（3，0），C（1，4）在直線y = kx+b上，∴[3k+b=0，k+b=4.]解得[k=-2，b=6.]

∴直線l2的解析式為y =-2x+6.

感悟：求一次函數的解析式，需已知一次函數對應直線上的兩個點的坐標. 也可以說，求一次函數的解析式，實則是解待定系數為k，b的二元一次方程組.

（2）用字母表示點M的坐標，結合點M在直線l1上，求得點M的縱坐標，類似于列方程解應用題時設未知數，用字母表示坐標是解函數問題的常用方法. 根據與y軸平行的直線上點的橫坐標相同的性質，結合MN[?]y軸，可得點N，M的橫坐標相等. 結合直線l2過點N，求得點N的縱坐標. 關于線段MN與點C的位置關系，需分點C的左右兩側來思考. 用點M，N的縱坐標的差表示MN的長度，哪一個點的縱坐標是被減式要視線段MN在點C的左右兩側而定，有的同學只想到其中的一種情形，造成了漏解. 求得AB的長，列方程可得點M的坐標.

解：∵點B是直線y = x+3和x軸的交點，

∴點B的縱坐標為0，即x + 3 = 0，解得x = -3，

∴B（-3，0），OB = 3.

∵點A（3，0），∴AB = 3 - （-3） = 6.

∵MN = AB，∴MN = 6.

∵點M在直線y = x+3上，∴設點M的坐標為（m，m + 3）.

∵MN[?]y軸，∴點N的橫坐標為m.

∵點N在直線y = -2x+6上，∴點N的縱坐標為-2m + 6，

∴點N的坐標為（m，-2m + 6）.

當線段MN在點C的左側時，如圖2，∴MN = -2m + 6 - （m + 3），

∴-2m + 6 - （m + 3） = 6，解得m = -1，∴m + 3 = 2，∴M的坐標為（-1，2）.

當線段MN在點C的右側時，如圖3，∴MN = m + 3 -（-2m + 6），

∴m + 3 - （-2m + 6） = 6，解得m = 3，

∴m + 3 = 6，∴M的坐標為（3，6）.

∴點M的坐標為（-1，2）或（3，6）.

感悟：數與形“聯手”能夠使抽象的函數問題變得形象、直觀，為問題的切入指路. 雖然已知點M，N分別在直線l1，l2上，但是線段MN的具體位置并不明確. 為了使思維條理化，以點C為分界點，分線段MN在點C的左右兩側來思考. 分類討論是解函數問題時常用的數學思想.

[勤于積累]

1.待定系數法求一次函數式，分三個步驟：設，代，解.

2.兩條直線的交點坐標適合兩條直線所對應的一次函數式.

3.與坐標軸平行的直線的坐標特征及直線上兩點間的距離公式：與x軸平行，直線上所有點的縱坐標相等，直線上兩點間的距離為大橫坐標減去小橫坐標;與y軸平行，直線上所有點的橫坐標相等，直線上兩點間的距離為大縱坐標減去小縱坐標.

4.數形結合：有圖象的利用圖象，數形互化;無圖象的要養成畫圖象的習慣.

5.分類討論：當點、線段位置不明確時，須分不同情況討論.

[拓展演練]

設例題中直線l1，l2對應函數的值分別為y1，y2. 當y1 = y2時，求x的值;當y1 > y2時，求x的取值范圍.若直線l1與y軸相交于點D，其他條件均不變，試求四邊形ODCA的面積.

答案：當y1 = y2時，x = 1;當y1 > y2時，x > 1. 四邊形ODCA的面積是7.5.

（作者單位：天津市靜海區沿莊鎮中學）