矩陣值函數空間中尺度空間的稠密性

崔麗鴻,陳曉東,杜俊峰,王隆玉,郭興寶,崔月娥

(北京化工大學理學院數學系,北京 100029)

矩陣值函數空間中尺度空間的稠密性

崔麗鴻,陳曉東,杜俊峰,王隆玉,郭興寶,崔月娥

(北京化工大學理學院數學系,北京 100029)

多分辨分析的概念在小波基構造中起著非常重要的作用,并經歷了從經典多分辨分析到多重多分辨分析,再到矩陣值多分辨分析的研究歷程.本文基于矩陣值多分辨分析,研究并給出了矩陣值函數空間中尺度空間稠密性的兩個充要條件,并在此基礎之上得到了稠密性的兩個充分條件.

矩陣值多分辨分析;矩陣值函數空間;尺度空間;稠密性

1 研究背景

1981 年,文獻[1]提出了小波的正式概念之后,經過30年的發展,小波分析理論及應用的相關研究取得了重大的進步,并成為國際上公認的新方向和熱點,是數據處理、特征識別等方面所使用的非常前沿且有效的工具.1987年,文獻[2-4]提出了多分辨分析的概念,統一了此前所有具體正交小波的構造.1998年,文獻[5]首次引入了矩陣值多分辨分析和對應的矩陣值小波基的概念,基于此,文獻[6-7]研究了矩陣值小波的構造問題,文獻[8]給出了向量值雙正交小波的存在及構造問題,盡管得到了較好的研究結果,但尺度函數通過平移變換和伸縮變換所張成的尺度空間在全空間中的稠密性又是多分辨分析理論中一個非常重要的條件,因此尺度空間稠密性的研究,對于小波函數構造理論至關重要.本文主要研究在矩陣值小波分析理論中,尺度函數空間在整個矩陣值函數空間的稠密性問題.

2 矩陣值L2-函數空間

本節先給出全文用到的相關定義.

定義2.1設t∈?,fkl(t)∈L2(?),k,l=1,2,…,N,則定義矩陣值L2-函數空間為:

記作L2(?,?N×N),該空間中的函數F(t)稱為矩陣值函數.

在此基礎上,可以引入相應的范數、內積等一系列定義:

定義2.2設F(t)=(fij(t))N×N∈L2(?,?N×N),則矩陣值函數F(t)的平移F(t-k)定義為F(t-k)=(fij(t-k))N×N,其中k∈?,記作Fk(t).

定義2.3 F(t)=(fij(t))N×N∈L2(?,?N×N),則矩陣值函數F(t-k)的伸縮F(m t)定義為F(m t)=(fij(m t))N×N,其中m∈?.

在明確了這些定義的基礎上,來研究尺度函數空間在整個矩陣值函數空間的稠密性問題.

3 尺度空間的稠密性

由于每個Φn都是在X中,因此有supp cφn?Ω幾乎處處成立,因此有Ω0?Ω幾乎處處成立.

設Ω1=ΩΩ0,假設Ω1的測度大于0.由命題3.2可知,?s∈Vn,都有supp b s?supp cΦn.由于對于任意n∈?,cΦn在Ω1上都是不存在的(即在Ω1上為0),對Vn中每個矩陣值函數做傅里葉變換,則有∪Vn中的每個矩陣值函數在Ω1上都是不存在.

因此,如果可以證明如果在X中每個矩陣值函數的傅里葉變換在Ω1上都是不存在,那么Ω1模為0,Ω與Ω0相差一個模為零的集合.否則與b X=L2(Ω,?N×N)矛盾.

任取F∈X,?G∈∪Vn,滿足b G在Ω1上不存在.則

證明因為Φ是緊支撐的,因此bΦ=0成立的點的集合,即Z(bΦ)為零測集,由定理3.2可直接得到此推論.

至此,由定理3.1和定理3.2得到了矩陣值函數空間中尺度空間稠密性的兩個充要條件,由推論3.1和推論3.2給出了兩個充分條件.

4 結論

本文基于矩陣值多分辨分析理論中尺度空間的定義,通過一系列證明,最終給出了矩陣值函數空間中尺度空間稠密性的兩個充要條件,相信這對矩陣值小波函數的構造提供了很好的理論依據.并在此基礎之上給出了兩個加強了的充分條件,這將使得矩陣值小波的構造更加方便.

致謝感謝北京化工大學2011年大學生科技創新基金重點項目以及2011年國家大學生創新性實驗計劃立項項目(101001027)對于本文的支持.感謝審稿人的有益建議.

[1] Morlet J. Wave propagation and sampling theory and complex waves[J]. Geophysics, 1982,47(2):222-236.

[2] Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2(R)[J]. Trans. Amer. Math.Soc., 1989,315(1):69-87.

[3] Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets[M]. Philadelphia: SIAM, 1992.

[4] Ron A, Shen Z. A±ne systems in L2(Rd): The analysis of the analysis operator[J]. Journal of Functional Analysis, 1997,148(1):408-447.

[5] Xia X, Suter B. Orthonormal matrix vector-valued wavelets and matrix karhunen-loeve expansion[J]. Con- temporary Mathematics, 1998,216(1):159-175.

[6] Cui L, Zhai B. Existence and design of biorthogonal matrix-valued wavelets[J]. Nonlinear Analysis Series B:Real World Applications, 2009,10(5):2679-2687.

[7] Cui L, Zhang T. M-Band orthogonal vector-valued multiwavelets for vector-valued signals[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2008,28(1/2):165-184．

[8]陳清江,陳瑛.向量值雙正交矩陣值小波的存在性及濾波器的構造[J].純粹數學與應用數學,2008,24(1):10-16.

[9] Boor C, Devore R, Ron A. Approximation from shift-invariant space of L2(Rd)[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1994,341(2):787-806.

[10] Dong B, Shen Z. MRA-based Wavelet Frames and Applications[M]. Salt Lake City: Park City Mathematics Institute, 2010.

The density of the space of matrix-valued scaling function

Cui Lihong,Chen Xiaodong,Du Junfeng,Wang Longyu, Guo Xingbao,Cui Yuee

(Faculty of Mathematics and Computer Science, Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029, China)

The multiresolution analysis is a very important to construct the wavelet basis. From the classic multiresolution analysis to the multiwavelets multiresolution analysis and the matrix-valued multiresolution analysis, the content of the MRA has been greatly development. In this paper, we discuss the density of the space of matrix-valued scaling function which is based on the space of matrix-valued functions. And finally, we give two necessary and su±cient conditions and two su±cient conditions of the density.

matrix-valued multiresolution analysis, the space of matrix-valued functions, the space of matrix-valued scaling function, density

O174.2

A

1008-5513(2012)02-0143-06

2011-10-10.

大學生創新性實驗計劃(101001027).

崔麗鴻(1965-),博士,教授,研究方向：小波分析理論、算法及在圖像處理中的應用.

2010 MSC:42C40,65T 60