基于進度計劃分形特征的緩沖確定方法研究

張俊光,李 凱

(北京科技大學經濟管理學院，北京 100083)

1 引言

1997年，Goldratt在約束理論(Theory of Constrains，TOC)基礎上提出了關鍵鏈項目管理方法(Critical Chain Project Management，CCPM)，即根據項目活動之間的邏輯關系和資源限制共同編制項目進度計劃，并以工期最長的一條鏈作為關鍵鏈，最長的工期的1/4作為項目緩沖(Project Buffer，PB)，以防止項目因應對突發情況而出現進度延期問題；在非關鍵鏈接入關鍵鏈的位置又設置了接駁緩沖(Feeding Buffer, FB)，以防止非關鍵鏈上的活動影響關鍵鏈上活動的進度；而設置的資源緩沖(Resource Buffer，RB)則作為一種預警提示，并沒有實際的時間量[1]。Goldratt所提出的項目緩沖量確定方法被稱作剪切粘貼法(Cut and Paste Method，C&PM)，盡管簡單易行，但是忽略了項目的很多信息，在實際項目的應用中存在較大的局限性，導致了工期過度消耗和成本浪費等一系列問題。在緩沖確定研究領域中，大部分研究方法都是以資源約束或者網絡計劃約束為基礎進行研究，未見有以鏈路本身的特點為基礎進而確定緩沖大小的方法研究。在傳統的關鍵鏈項目管理方法中，只有兩種“鏈”， 即關鍵鏈和非關鍵鏈。但是實際中某些項目的非關鍵鏈有著比關鍵鏈還要復雜的結構，非關鍵鏈也可能是其它鏈路的“關鍵鏈”。

現有研究中對于接駁緩沖的確定方法研究也比較少，大部分都使用了與關鍵鏈尾部的項目緩沖相同的確定方法。但這類方法存在一些不足：一是各條鏈路尾部的緩沖確定(無論是項目緩沖還是接駁緩沖)都只用到的本條鏈路上活動的信息，沒有用到其它活動信息，信息使用量不充足，緩沖確定結果難免不準確；二是鏈路與鏈路間沒有信息聯系。鏈路的層級關系越多，進度網絡應越復雜，上下級之間存在效率的聯動；三是傳統緩沖確定方法沒有考慮到保證支路按時完工對整個項目進度的重要性，當各支路都能按時完工時，項目的整體不確定性是降低的，此時項目緩沖可以更小一些，進而節約工期和成本。

在緩沖確定的研究方面，以Herroelen和Leus[2]為代表的學者證實了剪切粘貼方法會造成安全時間的浪費和成本的增加。基于此，Newbold[3]在剪貼粘貼法的基礎上提出了根方差法(Root Square Error Method，RSEM)，以項目活動工期的方差之和的二次方根作為項目緩沖，以避免剪貼粘貼法由于項目活動數量增多導致緩沖量線性增加的問題；Tukel等[4]又基于RSEM假設中工序時間參數是否相互獨立難以確定的不足，提出資源緊張度(Adaptive Procedure with Resource Tightness，APRT)求解和網絡復雜度(Adaptive Procedure with Density，APD)求解兩種方法對RSEM確定的緩沖進行了修正。后續多數學者的研究大都基于上述幾種方法進行的改進。Long和Ohsato[5]等通過遺傳算法，尋求資源和工期方面的均衡，并基于梯形模糊理論，模擬項目的不確定性，計算項目緩沖大小，為后續學者基于模糊理論確定緩沖的研究奠定了基礎[6-8]。Zhang等[9-10]根據邊際效用遞減和DSM信息流矩陣以及資源約束等因素對項目物理資源和信息資源進行了綜合分析并確定緩沖大小。褚春超[11]在考慮資源緊張度和網絡復雜度情況的同時又考慮了管理者風險偏好等因素的影響。施騫等[12]提出用資源緊張度、網絡復雜度和項目經理風險偏好三個項目屬性調整項目緩沖，并且考慮了成本因素和資源可替代性，提出一種新的項目緩沖確定方法。別黎等[13]和Hu等[14]基于活動敏感性信息提出了一種關鍵鏈動態緩沖監控方法。張善從和馬麗叢[15]則從測算項目風險概率與進度延誤程度的角度來計算緩沖區，并借此管控高新技術項目進度風險。張俊光等[16]通過評估項目的不確定性和活動離散程度，提出了一種基于熵權法的項目緩沖確定方法。蔡晨和萬偉[17]提出了利用活動彈性系數估計項目緩沖來吸收整個項目的不確定因素，另一篇文章則以優化項目工期為目標、以關鍵鏈為基礎，在兩資源約束下提出了分階段進行資源規劃的算法，推進了關鍵鏈項目管理在多資源環境下的運用[18]。單汩源等[19]基于項目不確定性改進了緩沖區設置方法，消減由偶然性而添加的安全時間，并據此減少項目緩沖。徐小峰等[20]提出了一種基于多因素擾動的緩沖設計及調整聯動的控制模型。張俊光和萬丹[21]則提出了一種實時滾動的動態緩沖管理法，為提高項目完工率提供一種新的方法。Hu等[22]根據資源成本和關鍵鏈穩定性等對緩沖確定進行了探討。

上述方法主要從項目進度網絡和各活動屬性信息上進行拓展，豐富了關鍵鏈緩沖確定的研究，分別在一定程度上改進了緩沖確定方法，但也都存在著一定的不足[23]。首先，在APD中，網絡復雜度被定義為緊前活動數量與匯入的非關鍵鏈上活動總數的比值加1，但網絡分形維數越多，則子鏈中的活動越多，導致網絡復雜度計算中的分母越大，從而網絡復雜度越小，這顯示是不符合實際情況的。第二，網絡復雜度只考慮了非關鍵鏈上的活動，與關鍵鏈上的活動信息無關。又如資源緊張度是利用工序所需資源量和資源的供應限量的比值來確定的，這會導致比值一直大于0，注定了項目緩沖量的增加。第三，以前的研究都強調要充分保護關鍵鏈上活動的進行,而對非關鍵鏈上活動的保護不足。

實際上，項目各鏈路之間的級別現象特別類似分形幾何結構，即局部放大之后跟整體類似。分形理論主要是用于研究圖形的自相關性，現在也被廣泛的應用在股票研究、生物種群分布、地質特征等領域，對自然科學的研究具有深遠的影響[24-27]。基于此，本文將關鍵鏈理論與分形理論相結合，提出基于進度計劃分形關聯維數的緩沖確定方法，并基于關鍵鏈自身多層級的特點，利用Logistic增長模型使項目緩沖確定方法更加的科學合理。本文創新點主要有以下幾點：首先，基于進度網絡計劃的類分形特征，即鏈路局部與整體存在相似性，對具有類分形特征的鏈路進行了分級；其次，利用一維空間關聯位數確定主鏈互動與支鏈活動之間的關系，充分考慮了項目各項活動所包含的信息和進度網絡的復雜情況；最后，本文利用Logistic增長模型為項目提供一個更加合理的緩沖量，在一定程度上避免了屬性優化方法與APD方法的不足，同時又巧妙的將非關鍵鏈上活動的信息添加到關鍵鏈的緩沖確定當中去，使項目進度計劃更加完善可靠。

2 基于分形理論的緩沖量確定

Goldratt提出根據工序間的邏輯關系和資源約束確定工期最長的一條鏈為關鍵鏈，其它的支路鏈為非關鍵鏈，所有的資源優先分配給關鍵鏈上的活動使用[1]。若非關鍵鏈也有其自身附屬的非關鍵鏈(如圖1)，此時稱該項目進度計劃屬于嵌套結構。

圖1 某項目進度計劃

鏈路1為項目進度計劃中的關鍵鏈，鏈路2為非關鍵鏈，但鏈路2可以看成是鏈路2與鏈路3組成的局部項目中的關鍵鏈，其所要遵循的規則同鏈路1與鏈路2之間的規則是一樣的，即要保證該級關鍵鏈上的活動優先使用資源，級別越高的關鍵鏈，其資源使用優先級越高。將鏈路1稱為主關鍵路，鏈路2稱為次關鍵鏈。這樣既能有效的使用限制資源，又能在較大程度上防止非關鍵鏈上的活動延誤而影響關鍵鏈的正常進度。此時，項目網絡計劃圖出現類分形結構——局部與整體具有相似性。在項目的緩沖確定中，可以根據分形理論對關鍵鏈形態進行研究。分形中的一維空間關聯維數[27]：

(1)

其中r是認為給定的碼尺(Yardstick)；dij為兩個活動之間的層級距離，在本研究中采用歐氏距離計算法，即：

(2)

其中，xi=(xi1，xi2，…，xip)T,xj=(xj1，xj2，…，xjp)T。

H(r-di)為Heaviside函數，即：

(3)

2.1 單純層級緩沖的確定

項目主關鍵鏈上尾部的緩沖為項目緩沖(PB)，其計算應由主關鍵鏈上活動的信息與非關鍵鏈上分形信息兩部分組成。主關鍵鏈尾部的項目緩沖應該包含主關鍵鏈和次關鍵鏈上所有活動的信息，而次關鍵鏈上尾部的接駁緩沖的確定還需要考慮該級附屬鏈上活動的信息。此時，項目網絡計劃的主關鍵鏈尾部的項目緩沖不僅包含了鏈路中所有活動的信息，同時也包含了進度網路計劃的結構信息。從而使項目緩沖能夠更全面的涵蓋不確定因素，減少因計劃過于復雜而造成項目超期的問題。但此時主關鍵鏈尾部的項目緩沖不一定是最大的緩沖，當各支路都能保證按時完成時，項目的完工風險便降低了，此時主關鍵鏈尾部就不需要太多的緩沖來過度控制不確定性，從而在不降低按時完工率的基礎上實現降低工期的目的。在此引入Logistic增長模型[28-29]，計算層級鏈路相關性的增長情況。

(4)

當維數變化Δa趨向于0時，得緩沖增長模型為，

(5)

求解微分方程得，

(6)

由式(6)可以看出，待估參數只有緩沖的極限值K和緩沖最大增長率p,在如圖1所示的簡單層級鏈路中可以根據項目的基本信息很容易地求出K。Logistic增長模型能夠基于支路工作的信息而計算得出關鍵鏈項目緩沖，又不至于由于線性增長而造成關鍵鏈的項目緩沖過大，造成工期的大幅度的延長。

2.2 單個活動多次級鏈路與同級多分支鏈路緩沖的確定

當某級關鍵鏈中的某個活動有多個分支鏈路接入時(如圖2中的活動B)，由于同級各支路屬于平級關系，為防止上級關鍵鏈尾部緩沖出現線性增加的問題，不能對其各支路接駁緩沖進行累加計算，應取所有接入關鍵鏈路的分支鏈路中最大接駁緩沖，即式(7)，其中PB0為尾部集中后的原始項目緩沖值。之后根據Logistic增長模型可以確定項目緩沖。

K=PB0+MAX{FB1,FB2,FB3,…,FBn}

(7)

圖2 單個活動多次級鏈路

此時支路所包含的項目信息應是所有從該活動處接入本級關鍵鏈中最大的，支路復雜情況也是最高的，當最復雜的鏈路工作都可以按時完成時，那么其它分支鏈路也可以按時完工。確定緩沖極限K之后利用式(4)計算上級關鍵鏈緩沖總量。

當同一級關鍵鏈中不同活動均有支路

接入時(如圖3所示)，則根據不同活動接入關鍵鏈支路的接駁緩沖大小占全部接入關鍵鏈支路接駁緩沖之和的比例確定主關鍵鏈增量緩沖權重，進而確定此級緩沖極限K，之后根據Logistic增長模型確定項目緩沖。

(8)

圖3 同級多分支鏈路

2.3 基于逆向選擇原理確定緩沖剪切位置

由3.1，3.2可知各鏈路的緩沖極限K由本鏈路上活動截取的緩沖和相關支路活動截取的緩沖共同決定。其中各個鏈路的緩沖大小還與工期的截取位置有關。項目經理傾向于讓員工感到緊迫感、將更多的時間剪切下來作為緩沖掌控在自己手中。員工則會根據項目經理的這個特征虛增完成工作所需的時間。雙方都通過信息不對稱下的逆向選擇原理來采取對自己最優的決策，但是博弈的過程卻會產生無謂損失。為了避免這些無謂損失，應該從理論上找到博弈的均衡位置，將剪切位置定位于此，從而將更多的精力投入到項目執行管理中去。

(1)在實數域上二階可導；

根據上述分析，項目的計劃工期會受到項目經理和員工的共同影響。假設項目經理擁有的最終工期決策權為φ，且0<φ<1，那么員工對于最終項目計劃工期的影響力為(1-φ)。當博弈均衡時，總滿意度應滿足：

(9)

(10)

(11)

將(10)(11)帶入(9)得：

(12)

(13)

解得：

(14)

因此，工期的剪切均衡點會受到項目經理的決策權力φ的大小影響，這在現實中表現為項目經理的工作強勢程度和工作經驗，越強勢的、富有相關工作經驗的領導，越趨向于將更多的時間緩沖掌控在自己手中，因此會傾向于切掉較大比例的工期。此外，均衡剪切比例還會受到滿意度函數的影響，項目經理和員工對于自己所做出決策的滿意度會影響其下次博弈的決策意見。在本文模型中，為簡化決策滿意度函數對最終結果的影響，假設為常相對決策滿意度函數：

(15)

(16)

3 仿真模擬

某項目共有13項活動，其中第1和13項為虛工序，其余各活動工期和成本信息如表1所示。

表1 項目基本信息表

根據CCPM理論確定項目的關鍵鏈，并基于分形理論確定項目進度計劃中各級鏈路的關聯維數，然后利用逆向選擇原理確定各個活動的緩沖剪切位置，并根據Logistic增長模型確定各級緩沖的大小，最后將本文確定緩沖的方法與其他方法進行對比，驗證本文所提緩沖確定方法的有效性。具體步驟如下：

第一步，基于活動間邏輯關系約束和資源約束，確定初始關鍵鏈；

第二步，調整項目計劃圖，突出分形特征，確定出主關鍵鏈和各次關鍵鏈，計算項目計劃的一維空間關聯維數；

第三步，根據逆向選擇原理確定各個活動的緩沖剪切位置；

第四部，根據Logistic增長模型，計算出各級鏈路的項目緩沖；

第五步，根據鏈路之間的關聯維數、各層級間緩沖大小和主關鍵鏈緩沖極限值計算出涵蓋項目所有活動信息和進度計劃網絡信息的項目緩沖總量。

經過優化后的項目網絡圖如圖4所示，項目的關鍵鏈已經用紅線標出。

圖4 項目網絡計劃圖

由于項目經理的決策權力φ會有較大的個體差異，因此在實際應用中還需要使用其他的科學方法確定其值。在本案例中，為更加簡明的突出重點研究內容，決策權力φ取值為0.8，表示項目經理決策權利較大。而項目經理的風險厭惡程度則利用標準正態分布在仿真程序中隨機生成(0.5，1)之間的值來表示(這里假設風險厭惡程度小于0.5的人不會被選拔為項目經理)，以確定剪切位置。然后應用蒙特卡洛方法分別對C&PM法、RSEM法、APD法和本文方法進行仿真模擬500次，比較這幾種方法的緩沖、工期和成本的大小，得到對比結果如表2和圖5所示。

表2 四種方法工期對比

由表2和圖5可知，基于本文提出方法所確定的項目緩沖大小為15.4天，比C&PM，RSEM，APD方法確定的緩沖都要小，最終的實際工期平均值為66.4天，同樣小于其它方法。產生這樣結果的原因是：

圖5 實際工期對比圖

第一，C&PM采取“切一半”的方法確定緩沖，會使緩沖隨著工序數量的增多而線性增加，造成工期上的浪費；第二，RSEM方法的基礎也是C&PM“切一半”的方法，然后基于中心極限定理，利用各個工序工期不確定性的和來計算緩沖大小，在項目工序數量較小時，抽出緩沖較大，但預留工期卻較短，會提高緩沖消耗率進而提高完工超計劃率；而在項目工序數量較多時，RSEM預留工期也較長，此時雖然會降低緩沖消耗率，但卻造成工期上的浪費。第三，APD方法在RSEM的基礎上考慮了網絡復雜度的影響，由此計算出的緩沖比RSEM更大一些，在項目活動數量比較少但層級比較多的時候會預設過量的緩沖，造成成本上的浪費。第四，本文方法利用項目進度計劃的分形特性，根據一維空間關聯維數確定各層級鏈路之間的關系，然后利用逆向選擇原理和Logistic增長模型對各層級緩沖大小進行計算，既保證了各支路能夠按時完成，又能使項目緩沖包含所有鏈路上活動的信息，使緩沖尺寸更加合理，縮短了項目總工期，并降低了項目成本，從而實現工期和成本的雙重優化。

再將本文模型方法與C&PM，RSEM，APD三種方法進行對比，結果如表3和圖6所示。結果表明，應用本文方法對案例項目進行仿真管理，能夠降低項目工期超過計劃工期的概率，使之為4.7%，而C&PM方法為7.7%， RSEM方法為8.1%，APD方法為5.2%，均比本文方法的超期概率大。在成本方面，本文方法能節約34.9%，比C&PM方法多節約9.9%，比RSEM方法多節約7.9%；比APD方法多節約5.2%。

表3 四種方法效果對比

圖6 實際成本節約對比

4 結語

本文從項目進度網絡計劃圖出發，通過對項目鏈路進行重構以凸顯其分形特征，進而利用分形一維空間關聯維數確定了不同級別鏈路之間的關系，然后利用逆向選擇原理和Logistic增長模型分別計算各條鏈路的緩沖大小，最后通過蒙特卡羅方法進行仿真實驗500次，將本文方法分別與C&PM，RSEM，APD三種方法進行對比分析，充分證明了本文方法在保證完工概率的同時縮短項目工期、降低項目總成本方面的作用，從而實現工期和成本的雙重優化。

基于進度計劃分形特征的緩沖確定方法相較于傳統關鍵鏈項目管理方法對于進度網絡環套結構較多的項目能夠更加準確的確定緩沖大小，并具有更加優秀的進度管控效果。但本文也存在不足之處：所舉案例項目活動數量比較少，沒能體現單個活動多次級鏈路與同級多分支鏈路緩沖的確定方法的優越性，后續研究將會將更多的案例納入到模擬仿真驗證中來，以使理論方法更具普遍性。