“同心協力”策略研究

平安 鄒蓮蓮 平靜

摘要：本文主要運用空間幾何模型和彈性碰撞模型相結合的方式，討論并給出了不同情形下“同心鼓”的協作策略。在理想狀態下，隊員可以精確控制用力方向、時機和力度，結合完全彈性碰撞模型，對周期內排球與鼓面的相關物理量進行分析，得出最佳協作策略下的鼓起落高度差和發力時機。考慮現實情形中的隊員發力時機和發力力度不能精準操控，因此存在誤差導致鼓面會發生轉動，從而產生一定的偏轉角度。結合轉動定律，建立一般鼓面傾斜角度模型。在該模型基礎上，通過簡易實驗得出不同情況下的旋轉軸，建立鼓面傾斜角度模型。當鼓面發生傾斜時，根據光的反射定律描述球的跳動軌跡規律，建立傾斜球調整模型，通過調整特定位置的發力時機和發力的大小，使鼓轉動至鼓面中心法線與球速所在的平面垂直于地面，并產生0.5度的傾斜角度，以此將球調整為豎直狀態彈跳，并結合實際分析了該策略在現實情形中的實施效果。此外，現實中發力時機、發力力度、用力方向難以精確控制，如何使模型更加貼近實際，是本文面臨的一大困難。通過對模型進行適當的、合理的假設，最終給出了較為合理的“同心鼓”協作策略。

關鍵詞：空間幾何模型;完全彈性碰撞;一般鼓面傾斜角度模型;折射定律;傾斜球調整模型

一、模型的建立與求解

1.球-鼓往復碰撞模型的建立與求解

考慮繩與鼓的固定點在鼓身均勻對稱分布，且經調查，市面常見的同心鼓有8環、10環、12環、14環、16環、18環、20環這七種規格，即鼓身固定點的個數為偶數。因此當團隊人數多于8人且為偶數時，隊員位置的分布最易確定。因此，為使鼓的平穩性更易控制，建議一般協作人數在8-20人并且為偶數。通過以上分析建立了球-鼓往復碰撞模型，用于研究用力大小、人數、繩與水平面的夾角與發力時機和點球高度的關系，從而給出決策策略。

假設參與“同心鼓”團隊的人數為n，隊員與其對應的繩和固定點在同一直線上，且n條直線交于鼓中心軸線上一點。

排球從鼓面中心上方40cm處豎直落下，隊員通過對繩的牽拉，使得鼓在豎直方向運動。排球受恒定的空氣阻力f作用，其中c空氣阻力系數，ρ為空氣密度，s為排球的迎風面積，則有

其中，v0為排球下落時的初始速度，即v0=0m/s，v為排球下落40cm時的速度。迎風面積即為排球在豎直方向的投影面積。

周期碰撞系統，每個周期球鼓將在相同位置發生碰撞，碰撞完成以后保證球最高上升到原位置，此系統保證了在精準控制發力時機和力度的情況下球每次顛起的高度等于40cm，從而保證了球在單位時間的顛球次數最多。

通過對排球和鼓勻加速直線運動過程中的受力分析，列出以下等式：

設排球與鼓相撞所用的時間分別為t1、t2，將該碰撞過程理想化為完全彈性碰撞，則滿足動量守恒和能量守恒：

聯立以上方程組，可求得鼓起落的高度差和隊員發力時機。

2.一般鼓面傾斜角度模型的建立

在現實情形中，團隊隊員在發力時機和力度上不能精確操控，因存在誤差從而鼓面發生一定角度的傾斜。傾斜角度與隊員的發力時機和力度與某一特定時刻有關，通過簡易實驗找到四種不同發力力度情況下的轉動軸位置。利用質量平均的剛體轉動慣量求解

得轉動慣量為0.216和0.202。

利用轉動定律和轉動過程中角加速度與角度之間的變化關系，建立一般鼓面角度偏轉的模型，在該模型中分別表示出因發力時機不同而導致的偏轉角度β1和因發力力度不同產生的偏轉角度β2，矢量疊加即可求得在0.1s時鼓面的偏轉角度

為了方便分析和求解，建立以鼓面中心為原點的空間直角坐標系，把角速度的方向規定為該角速度在鼓面上投影的方向。將因發力大小不同產生轉動的角速度向X0Y面投影，得到其在沿X軸負向上的角速度分量和Y軸上的角速度分量，其中Y軸上的角速度分量為0。

對鼓受力分析可得知，在隊員用力大小不等和發力時機不同步處對鼓面所產生的傾斜角度，是與該位置的對位的有關，故在計算傾斜角度時，把關于鼓心對稱的兩個點當作一個不受外力影響的系統來進行求解，把每個系統都分為三個階段：第零階段是兩個人都沒有開始發力，只提供保持鼓面平行、鼓靜止的狀態;第一階段是兩人中有一人開始發力，另一人尚未發力的時間段;第二階段是兩人都開始發力。第零階段可直接轉變為第二階段。最后將所有系統導致的偏轉角矢量加和，得到最終的鼓面傾斜角。

3.鼓面傾斜角度模型的建立與求解

在沒有對位同時發生相同誤差的情況，該系統的任意一個階段中，不會改變。

則：

4.傾斜球調整的模型建立與求解：

經過計算來確保鼓面傾斜方向與球的傾斜方向在同一平面內，同時利用反射原理中的入射角等于出射角來求出鼓面傾斜的角度為0.5°。定義鼓距離繩水平的位置為0.11m，每個人的正常拉力F為80N。同時假定球的偏轉角指向1，2號位置，且與1，2號位置的夾角比為1：2。

某位置提前發力的提前量t和其引起的鼓面偏轉

其他位置力度加大后與正常力度的差值△F和其引起的鼓面偏轉

則鼓偏轉角和鼓偏轉方向為tan（12°）

聯立上述四式解得t=0.1314s，△F=13.8388N。即某位置提前0.1314s發力，與之相鄰兩位置發力大小為93.8388N。

5.策略效果分析

當時間提前量與發力力度的改變量在可控制范圍內，操作性較強，結果較為理想。考慮在現實情形中，隊員無法精確控制發力時機和發力力度，所以可考慮增加繩長以增大發力力度的合理范圍，或多次操作調整鼓面傾斜角。

參考文獻：

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室，理論力學（第八版），北京：高等教育出版社，2016.

[2]馬文蔚，周雨青，物理學（第六版），北京：高等教育出版社，2018.