極值Ⅰ型分布求矩適線法在設計潮水位中的應用

許弘 程素珍 尹艷青

(1.蘭州大學數學與統計學院，甘肅 蘭州 730107；2.山東省水利科學研究院，山東 濟南 250013；3.北京市水務工程建設與管理事務中心，北京 100036)

我國是海洋大國，擁有漫長的海岸線，山東省陸域岸線長度3122km，已建大陸海堤1184km，海堤與岸線比值為38%，且現有海堤破損嚴重，因此山東省已經明確提出要加大海堤建設，提高沿海重點地區的防風暴潮能力，而潮水位是確定海堤規模的關鍵性參數?！逗５坦こ淘O計規范》(SL 435—2008)(以下簡稱《規范》)提出在海岸地區設計潮水位頻率分析的線型可采用極值Ⅰ型分布曲線[1-2]，但《規范》僅列出了頻率、數據序列項數等相關系數的表格，通過查表求解相應設計頻率的潮水位。查表法計算簡單、應用方便，但其方法的局限性和成果的缺陷明顯，在大中型工程中的應用受到較大的限制。適線法在水文頻率分析中已經普遍和成熟應用，但主要基于皮爾遜Ⅲ型分布的應用[3-9]，有關極限Ⅰ型分布的工程應用很少，現有規范、相關文獻也缺少極限Ⅰ型分布適線法的計算程序、適線方法和成果合理性判斷標準，使該方法在潮水位頻率分析應用中受到較大的限制。本文基于matlab計算軟件，結合山東省榮成市石島灣海堤設計，開發了極值Ⅰ型分布求矩適線法程序，并與規范表格系數查算、理論曲線成果進行比較，驗證了該法的合理性、便利性，以期對類似工程提供借鑒。

1 極值Ⅰ型分布原理和適線求解方法

根據《規范》規定，設計潮水位計算應采用頻率分析法，在海岸地區頻率曲線的線型可采用極值Ⅰ型分布。

潮水位觀測站歷年最高潮水位觀測值為h1，h2，…hn，觀測值呈極值Ⅰ型分布，則某一設計潮位hP對應的設計頻率值P為

P=P(h≥hP)=1-F(hP)=1-e-e-α(hP-β)

(1)

σ——潮水位序列均方差。

潮水位序列均值和均方差采用矩法進行估算，見式(2)、式(3)。

(2)

(3)

式中hi——序列第i年的年最高潮水位；

n——年最高潮水位序列項數。

對式(1)兩邊取兩次對數，把α、β化簡代入得式(4)，得

(4)

令：λPn=-(0.45+0.78×ln(-ln(1-P)))，式(4)轉化為：

(5)

根據極值Ⅰ型分布理論對實測經驗頻率曲線進行適線擬合須借助數學工具。在matlab語句中，有evcdf、evpdf、evinv等函數，分別表示極值Ⅰ型分布的累計函數、密度函數和逆函數，可以通過P=evcdf(-hP,-b,1/a)、hP=-evinv(k,-b,1/a)實現對給定設計頻率和相應設計頻率的設計水位進行交互計算實現，實現頻率適線法。

2 資料分析

2.1 基本資料

圖1 設計潮水位極值Ⅰ型分布適線

2.2 表格法計算設計潮水位

根據《規范》，對石島海陽觀測站35年連續的年最高潮水位序列的均值、均方差及年頻率為0.1%、0.2%、0.5%、1%、2%、4%、5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%、97%、99%、99.9%的最高潮水位分別按式(2)、式(3)和式(5)計算，系數λPn按《規范》表A.0.2查取，不同頻率下的設計潮水位見表1，不同頻率及相應潮水位點繪在海森概率格紙上并連成曲線(見圖1)。

表1 不同頻率下設計潮水位計算成果 單位：m

2.3 理論計算設計潮水位

通過理論計算知，曲線形狀由均值、均方差兩個參數決定。調整均值僅使頻率曲線平行上下移動，偏移經驗點，通過調整均值進行適線法是不合適的(見圖2)。但當驗潮零點高程的標準不一致時，可以通過調整序列均值實現。

圖2 調整均值的極值Ⅰ型適線

設定理論頻率曲線P=42.97%為分界點，該點的設計潮水位等于序列均值，高于該頻率的設計潮水位均大于序列均值，小于該頻率的設計潮水位均小于序列均值。由于理論曲線以分界點旋轉，因此通過調整均方差，能夠適配出合理的曲線。

2.4 求矩經驗適線法計算設計潮水位

求矩經驗適線法是在一定的適線準則下，求解與經驗點據擬合最優的頻率曲線的統計方法，可避免因觀測序列短而產生計算結果可靠性差等問題。采用矩法對觀測數據序列進行統計，求出一組參數作為初值計算理論曲線，根據理論頻率曲線與經驗頻率點據的配合情況，通過經驗判斷調整參數，選定一條與經驗點據擬合良好的頻率曲線。經驗頻率曲線選擇時，盡可能選擇擬合點據好、結果相對保守的曲線作為經驗適線。適線要盡可能照顧點群的趨勢，使頻率曲線通過點群中心，點線配合不佳時，可重點考慮中上部點據，并應分析經驗點據的精度，使曲線盡可能接近或穿過比較可靠的點據。

通過初估、適線和綜合對比分析，可以得到比較合理的、能夠滿足海堤工程設計要求的潮水位經驗頻率曲線。通過選定的經驗適線，根據極值Ⅰ型理論計算相應設計頻率的潮水位。借助經驗頻率曲線予以延長，推求相應稀遇頻率的設計值。

適線法計算通過matlab軟件中的evinv、evcdf函數實現，在軟件環境下編制程序，能夠實現數據的統計、分析、繪圖和曲線擬合同時完成，采用norminv函數生成海森概率格紙。根據理論曲線和經驗點據的適配情況，調整均方差值為0.9σ、1.1σ、1.2σ、1.4σ倍的初值，進行適配，曲線見圖1，根據每條適配線計算年頻率為0.1%、0.2%、0.5%、1%、2%、4%、5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%、97%、99%、99.9%的最高潮水位，結果見表1。

3 計算成果和方法的合理性選定

表格法是《規范》推薦采用的設計潮水位計算方法，根據極值Ⅰ型分布，編寫了P-n-λPn參數表，計算簡單，通過手算即可完成。極值Ⅰ型分布為全樣本理論曲線，為避免觀測系列較短對擬合計算結果的影響，采用觀測值序列項數多少調整λPn值，減小因系列短而產生的誤差。由圖1知，表格法計算成果和1.15倍均方差初值擬合曲線一致，說明表格法由通過調整均方差初值計算生產，是適線中的一條經驗頻率曲線成果。

表格法把復雜的計算過程簡化為查表計算，并把樣本序列長度的影響考慮在內，其計算成果能夠滿足小型工程的需要，但規范表格是在特定序列項數n、頻率P下查算相應λPn值，對于表格中沒有列出的n、P對應的λPn值，只能通過內插求解，存在一定的誤差，同時由于成果是根據固定適配線確定，其合理性、與經驗點據的適配性存在較大的局限。

表格法計算的設計潮水位受序列長度的影響較大，觀測序列的長度不同，其λPn值不同，時間越短，其系數越大。為驗證計算成果受時間序列長短的影響程度，選取該工程20年、25年、30年、35年最大潮水位系列資料，同時計算20年一遇設計潮水位，其計算成果見表2，根據計算成果繪制的序列項數n與潮水位關系曲線見圖3。從圖3可知，序列長度為25年的計算設計潮水位值最大，說明表格法并不能保證序列長度越小選定的成果越保守，這是該方法的局限性。

表2 表格法計算20年一遇潮水位成果 單位：m

圖3 序列項數n與潮水位關系曲線

適線法根據極值Ⅰ型分布和觀測資料統計參數進行理論分析和經驗判斷，通過調整參數，適配出與經驗頻率點據擬合最好的曲線，得到滿足工程設計要求的不同設計頻率下的潮水位設計值，計算成果包含了表格法。它是基于matlab軟件環境編制的程序，能夠完成數據的統計分析，多條適配曲線擬合，圖表自動生成，計算速度快，功能強大，能夠把經驗點據、規范表格計算值、適配曲線同時繪制在同一張海森概率格紙上，并把成果匯總于同一表格中，便于設計人員比較和分析，確定適合設計要求的設計潮水位計算值。

4 結 論

本文采用極值Ⅰ型分布，結合工程設計潮水位實例計算，得出以下結論：

a.規范表格法簡單依靠參數表查算完成，過程機械，結果受資料序列長度影響，且不能確定與經驗頻率點據的擬合程度，具有較大的局限性。

b.表格法計算成果與特定倍數均方差適線成果一致，能夠通過適線法計算完成。

c.適線法基于matlab軟件的極值Ⅰ型分布函數完成，計算理論符合《規范》要求，計算功能強大，能夠把經驗點據、《規范》表格計算值、適配曲線同時繪制在同一張海森概率格紙上，并把成果匯總于同一個表格中，便于設計人員比較和分析，確定適合設計要求的設計潮水位計算值。