邦德可磨度測定替代方法的研究進展

李 沛 劉建遠 于 濤 曹 釗

（1.內蒙古科技大學礦業研究院，內蒙古包頭014010；2.北京礦冶科技集團有限公司，北京102628；3.中國華冶杜達礦業有限公司，俾路支卡拉奇999010）

邦德可磨度被用于計算磨礦作業中指定粉碎程度下的比能耗，進而計算出磨礦功率。輔以適當的功率模型，可完成磨機的選型工作。

20世紀30年代，Maxson與Bond等人提出了一種衡量礦石可磨度的指標G，其定義為在特定實驗室小磨機中進行的批次干式閉路磨礦達到穩態時磨機每轉動一周新生成的合格粒級克數［1］。此試驗的技術參數與20世紀40年代提出的標準邦德可磨度測定方法基本一致［2］，以下簡稱標準方法。值得一提的是，Bond等人之所以選擇閉路磨礦到穩態是基于如下考慮：盡可能接近工業上的連續閉路磨礦，該條件下的粒度分布與開路不同，對磨礦結果有影響，而所選擇的循環負荷量250%正是當時常見的球磨作業參數。

20世紀50年代，在斷裂力學發展的背景下，Bond提出了磨礦能耗的“第三理論”，其方程為［3］

式中，W為比能耗，kWh/t；F80和P80分別為給礦和磨礦產品的80%過篩粒度，μm；Wi為功指數，kWh/t。在筆者看來，“第三理論”中的物理依據（裂隙發育現象）與方程（1）在理論推導上的聯系并不強，不宜看作定理。然而，該方程在多數情況下能較好地反映常規磨礦作業中粉碎程度與能量輸入間的關系。

同一時期，在積累了大量數據的基礎上，Bond將球磨可磨度G與內徑為2.44 m的溢流型工業球磨機濕式閉路磨礦的功指數Wi相關聯，通過回歸分析得到如下關系［4］：

式中，P為邦德可磨度試驗中閉路篩分采用的篩孔尺寸，μm，一般選取（1.4～1.5）×P80。當時視上述工業磨礦條件為標準磨礦條件。將其與非標準條件做比較，得到一系列修正系數。如此便可以用可磨度計算任意條件下的球磨比能耗，見圖1。棒磨比能耗計算思路與此相同，計算參數不同。因此，準確測定邦德可磨度就成為了磨礦回路設計與設備選型的關鍵。

Bond等人在設計測定方法時優先考慮的是盡可能模擬工業磨礦作業，其次也考慮到操作的簡便性。比如試驗磨機選用無提升條設計，減少了清理物料的難度，卻因此不得不提高轉速率至91%，以模擬工業磨機中介質的“拋落”形態［5］。其試驗終點的判定標準為：連續3個循環的循環負荷平均值為250%±5%，且可磨度G最大值與最小值之差不大于平均值的3%。在實踐中，往往在第5個循環才能實現250%左右的循環負荷，之后還需要2～3個循環才能平衡。每一個循環都包含了清理、篩分等耗時耗力的操作，尤其當篩分尺寸低于150 μm時，篩分作業效率很低，處理700 cm3的物料耗時很長。同時，標準方法所得信息非常有限，突出表現在對不同的篩分尺寸P都需要做新的試驗。

業界一直在尋找簡便的替代方法，本文對若干較為成熟可靠的方法進行回顧與評述。

1 馬格達里諾維奇法

Magdalinovic分析了邦德球磨可磨度試驗數據，認為在該試驗條件下，大部分礦石表現出顯著的一階動力學粉碎特征，表達式為［6］：

式中，R與R0分別為磨礦產品中在磨礦t時和開始時的篩上物質量，g；k為粉碎速度常數，1/min。

當達到試驗終點時，有如下條件：

式中，U為篩下物質量，在此時也是新給礦質量，g；M是磨機中700 cm3物料的質量，g；r0為新給礦中粗粒級的含量，%。

將式（6）代入式（3），可得式（7），整理后得式（8）：

式中，tc為循環量達250%的磨礦時間，min。

令磨機轉速為rsr/min，則到t時和tc時轉數分別為N和Nc，則有如下方程:

式（9）給出求得粉碎速率常數k值的方法，式（10）給出達到循環量為250%所需的轉數。原理上只需做2次試驗即可。試驗步驟歸納如下：

（1）準備工作。按邦德可磨度測定要求備好-3.35 mm的破碎原礦，做篩析，得到F80和r0的值；縮分破碎原礦，得出2份新給礦，質量為（M/3.5）g；篩分破碎原礦，篩孔尺寸為標準方法中閉路篩孔尺寸P，之后縮分，得到2份粗物料，質量為（2.5M/3.5）g。

（2）第1次磨礦。取1份新給礦和1份粗物料裝入磨機，質量合計為M；用式（6）計算篩上物質量R0；磨N轉，一般為100轉；取出產品，篩分，得到磨礦產品的篩上物質量R；用式（9）計算得到粉碎速度常數k值。

（3）第2次磨礦。取另外1份新給礦和1份粗物料裝入磨機；用式（10）計算出循環負荷為250%時所需的轉數Nc；磨Nc轉，取出產品，篩分，若篩下物質量U與M/3.5相差較小，說明試驗成功，則可磨度G由定義計算為

該方法將原來的7～8個循環的磨礦—篩分作業減少至2個；且在實踐中，可以縮分粉碎產品，取部分（一般為1/4）做篩析，反推篩上物與篩下物質量，極大地減少了工作量。

如上文所述，閉路磨礦的可磨度要低于開路磨礦的可磨度，因此，該方法所得可磨度往往略偏高，計算出的邦德功指數偏低。對質地均勻礦石，該方法與標準方法所得可磨度的偏差在7%以內；對軟硬混合礦石或難磨粒級含量高的礦石，效果不佳。

上述原理與方法對棒磨可磨度測定也適用，精度較高，具體見文獻［7］。

2 列文法

Levin提出了一個方法，即不測可磨度，而是通過相對可磨度試驗求出指定粉碎程度下的球磨比能耗，直接滿足了設計與計算的要求［8］。

標準方法中每轉得到總的合格粒級質量T與新生成合格粒級質量G（可磨度）的關系為

其中，ru是破碎原礦中合格粒級含量，與上文中粗粒級含量r0相對應；T、G單位為g/r。

若獲得1 t合格粒級的產品，則需要N1t轉：

1 t礦石在標準磨礦條件下達到指定粉碎程度所需能量為：

則邦德可磨度試驗中每轉對應標準磨礦條件下的能耗為：

將式（2）代入并整理可得

若B值已知，根據定義，在標準磨礦條件下1 t礦石在指定粉碎程度下消耗的能量E就是比能耗W：

式中，M為700 cm3物料的質量，g；Nd為在邦德可磨度試驗中，物料被粉碎到指定細度所需轉數，也是該方法中唯一需要通過試驗得到的數值。列文指出此式既適用于閉路試驗，也適用于開路試驗。對于開路試驗，可通過若干轉數不等的開路磨礦試驗，每次對產品縮分做篩析，匯總結果，用插值法找到該值。可見，該方法應用的關鍵在于求得B值。

Levin統計了大量的邦德可磨度試驗結果（樣品主要來源于南非的金屬礦山），通過繪制分布圖，發現B值高度集中于（1.8～2.2）×10-5kWh/r的區間內，見圖2。取該區間的加權平均值1.98×10-5kWh/r參與計算。Levin對此做出解釋：

（1）根據定義，B值應是定值，這是該方法成立的前提（筆者按：理論上任意一套數據都能計算出該定值）。注意到B值的計算中包含式（1）與式（2），而Bond給出的能耗計算方法本就是“平均狀態”下的經驗公式，當偏離該狀態時所得能耗是不準確的，加之有試驗誤差的存在，導致B值呈一定規律分布，因此需取平均值。

（2）通過分類統計，發現落于低B值組（＜1.70×10-5kWh/r）的物料的功指數值較高，給礦中合格粒級含量較少且粒度分布曲線較陡；落于高B值組（（2.30～2.49）×10-5kWh/r）的物料的功指數值較低，給礦中合格粒級含量較多且粒度分布曲線較平緩；而落于中等B值組（（1.90～1.99）×10-5kWh/r）的物料的功指數、給礦中合格粒級含量與粒度分布在上述兩者之間，正是所謂的“平均狀態”，因此選擇中間4組做加權平均。

列文法的磨礦-篩分次數可能比馬格達里諾維奇法多，但省去了粗粒級物料制備，總體上工作量相當。劉建遠用列文法處理了50多組礦石可磨度試驗數據，所得比能耗與標準方法的對比見圖3［9］。可以看出，兩者結果相當接近。原則上，該方法對棒磨也適用，但未見報道。

3 計算機模擬方法

Lewis等人提出用Austin模型和理想篩分模型對邦德可磨度試驗做動力學仿真，逐次模擬批次磨礦產品和下一次給礦的粒度組成，直至收斂于試驗終點，進而用少量試驗獲得大量信息［10］。

Austin模型是一種經典的粉碎動力學總量平衡模型，能準確描述磨礦中粒度分布隨時間的演進［11］。對于批次磨礦來說，其原理如圖4所示，方程見式（18）。

式中，mi（t）為t時刻第i個粒級物料含量，%；Si為選擇函數，表征第i個粒級的碎裂速度，即單位時間內該粒級的粉碎分數，單位為min-1；bij為分布函數，表征經粉碎由j粒級落入第i粒級的含量，無量綱。該方程有解析解，稱作Reid解［12］。因此，使用的關鍵在于測定Si、bij這兩套函數。

逐個用單粒級磨礦動力學試驗測定上述兩函數是不現實的，需要采用下式做擬合［13］：

Lewis等人分別對火山凝灰巖（可磨度較高）和金礦石（可磨度較低）做邦德可磨度測定，即做8個磨礦—篩分循環，且對每次循環的磨礦產品都做了篩析。這樣既得到了兩個樣本的邦德可磨度，又得到了大量的粒級隨時間變化的信息。在這些信息的基礎上，編寫程序，以實測粒度分布與模擬結果的偏差平方和最小為目標函數，給5個擬合參數設定合適的初值后，按一定的算法不斷逼近最優值［14］，進而得到了各粒級的選擇函數與分布函數。之后，將兩套函數代入總量平衡模型中反算，得到了可磨度的值，與測定值相當接近。

實踐中，若確認該方法可行，則不必做邦德可磨度試驗來檢驗，完全可以做若干時間點的開路磨礦，得到對應的粒度分布數據進行擬合作業。另外，可用在Excel上開發的MolyCop tools輔助模擬。筆者建議：①因轉速恒定，可用轉數N替代時間t，方便計算可磨度；②因擬合參數較多，至少做5組磨礦—篩析試驗，才能保證擬合結果不失真。

在研究工作中，使用計算機模擬的方法效果顯著。如Yan利用Austin模型模擬了某礦石在不同閉路篩分尺寸下和不同剝離尺寸下的功指數變化，見圖5，發現：邦德功指數隨閉路篩分尺寸減小而增加；當給礦剝離尺寸大于閉路篩分尺寸時，邦德功指數增加，且在粗閉路篩分尺寸中更為明顯［15］。該研究中有25個數據，且其中23個給礦需要按一定粒度剝離，如果全部用試驗測定，工作量極大。

注：剝離在本文中是指篩掉給礦中的細粒級，其篩分尺寸就是給礦剝離尺寸。當其值為0時，表示不剝離。

Yan與Eation對軟、硬兩種礦石混合后的可磨度進行了研究，同時使用了邦德可磨度測試、馬格達里諾維奇法和基于總量平衡模型的計算機模擬方法，所得功指數見表 1［16］。

可以看出，多數情況下，用開路磨礦得到的功指數偏低；對均質的礦石，計算機模擬與馬格達里諾維奇法的精度相當。而對軟硬混合礦石，前者的效果要好得多，這是由于后者開路磨礦的性質決定的。同理，推測列文法對軟硬混合礦石的效果也不佳。

在上述研究之前，國內的熊維平等人就展開了類似工作［17］。其核心部分與Lewis和Yan的方法一致，而求算兩套動力學函數時使用了“預估-反算法”，給出了很高的擬合精度。同時，他們使用φ20×20 cm的小磨機試驗，并根據該磨機與邦德可磨度試驗磨機中選擇函數的比值計算出放大系數，進而用較少的物料完成了數據采集工作。可能是當時國內外交流不暢，該方法沒有得到重視與推廣。

在總量平衡模型的框架外，陳炳辰等人以n階磨礦動力學方程和磨礦過程線性迭加特性為依據，通過原礦動力學試驗獲得數據，進而模擬測試過程，所得球磨功指數、棒磨功指數與標準方法所得結果的偏差分別控制在3%～4%［18-19］。n階磨礦動力學方程目前應用很少，該方法也未能推廣。

4 基于巖石力學的估計方法

考慮到磨礦能耗與礦石的巖石力學特性有內在的聯系，近30年來學者們嘗試建立可磨度/功指數與巖石力學參數的回歸模型。

Briggs對4組可磨度不同的礦石做巴西劈裂試驗與點載荷壓力試驗，獲得拉伸強度與壓縮強度，分別對邦德功指數做線性回歸，4組中有3組效果較好，有1組不理想［20］。傳統的巖石力學試驗多針對采礦與土木等行業需求而設計，試樣尺寸較大，如巴西劈裂試樣為φ50×50 mm，而邦德可磨度試驗中物料均小于3.35 mm。實踐表明每種礦石的巖石力學尺寸效應有差異，這就使回歸分析變得困難。如上述研究中，3組礦石結構均勻，尺寸效應不明顯，對該方法較適應；而另外1組礦石有明顯的層狀結構，大尺寸上易碎，小尺寸上難磨，導致該方法失效。

Ozkahraman將水泥工業中的脆性指數測試引入，對重晶石礦、大理石礦、石灰巖和鋁土礦測試，得到脆性指數S20，與可磨度線性回歸分析，擬合效果較好，見圖6［21］。脆性指數測試是一個有側限的沖擊試驗，即用14 kg的錘頭從25 cm高度落下，沖擊料槽中-16+11.2 mm物料500 g，沖擊若干次后用篩析，-11.2 mm的克數為脆性指數，S20為20次沖擊下的脆性指數［21］。

業界積極探索簡便的方法，在礦場就可獲得可磨度。如Deniz等人用聲學特性推斷礦石的彈性模量等力學參數，進而估計可磨度［22］；又如Chandar等人用回彈法測定礦石強度并結合人工智能的方法推測球磨功指數［23］。然而，這些方法所用試樣尺寸遠比可磨度試驗的大，正如上文所述，尺寸效應在不同的礦石中有差別，所以這些研究所得的計算公式是否具有普遍意義值得商榷。

5 結論

Bond等人提出的可磨度試驗和磨機功率計算方法得到了廣泛的應用。由于可磨度試驗工作量大，業界積極尋找精度較高、操作簡便的替代方法。目前看，馬格達里諾維奇法和列文法認可度較高。不過，由于其開路磨礦的特性，對軟、硬混合礦石或難磨粒子含量較高的礦石，效果不太理想，使用前必須檢查礦石的結構。而基于總量平衡模型的計算機模擬方法，雖然在數據采集上的工作量要高于前兩者，但克服了上述問題，對不同礦石的適應性較好，且容易得到不同篩分尺寸下或剝離尺寸下的可磨度，這往往是研究工作中所需要的。基于巖石力學的估計方法發展較晚，也有很大的提升空間，值得業界進一步研究。