一類分數階脈沖微分方程邊值問題的研究

彭元雙 陳國平 董彥君

摘? 要：科技進步帶動著數學模型的發展，傳統的整數階微分方程已經難以滿足人們的研究需要，分數階微分方程在某些方面能夠更準確描述一些實際現象，近幾十年來得到了各個領域的應用。研究此類系統解的個數問題最常用的方法是不動點理論，但是由于分數階微分算子的大多性質都與整數階微分算子不同，使得一些左右混合RL型分數階微分方程難以適用。該文使用臨界點理論有效研究了一類左右混合RL型分數階脈沖微分方程邊值問題。

關鍵詞：分數階微分方程;脈沖;臨界點理論

Abstract：Advances in science and technology have led to the further development of mathematical models. Traditional integer-order differential equations have been difficult to meet peoples research needs. However，fractional differential equations can more accurately describe some practical phenomena in some aspects. In recent decades，it has been applied in various fields. The most commonly used method for studying the number of solutions to such systems is the fixed point theory. However，most of the properties of fractional differential operators are different from integer-order differential operators，making some left-right mixed RL-type fractional differential equations difficult to apply. In this paper，we use the critical point theory to effectively study the boundary value problem of a class of left-right mixed RL-type fractional impulsive differential equations.

Keywords：fractional differential equation;impulsive;critical point theory

0? 引? 言

隨著科技的發展，人們對數學模型的精確性提出了更嚴格的要求，如果將傳統整數階微分方程中的導數換成分數階導數，有時候比整數階微分方程模型更能精確地擬合某些實際現象，因此近幾十年來被廣泛應用于物理、金融理論等領域[1-3]。分數階微積分的發展并沒有像整數階微積分的發展那樣完善，有待學者們的進一步研究。筆者的研究方向是微分方程與動力系統，長期致力于學習和研究分數階微分方程，并參與了有關的課題研究工作，目的是希望能夠形成一定的研究規模，拓展分數階微積分的知識體系，將分數階微分方程應用于更多的領域當中，促進分數階微積分的研究和教學工作的展開。

目前，在分數階微分方程解的存在性問題的研究中，傳統的研究方法有不動點理論等[4，5]。運用該方法的前提是必須先找到與邊值問題等價的積分方程，但是分數階微分算子有很多性質，與整數階微分算子不同，表現得更為復雜，所以試圖尋求方程等價的積分方程是一件十分復雜且困難的事情，有時候甚至無法求出來。近幾年來，人們發現，運用臨界點理論討論分數階微分方程的解的問題可以避免求等價的積分方程的復雜工序，這種方法尤其對于研究左右混合型分數階微分方程解的存在性問題效果甚好，2012年，Zhou和Jiao[6]首次嘗試運用臨界點理論中的山路引理，并研究了如下邊值問題：

此外，現實中的許多現象在發展過程中，常常會遭遇外部干擾從而產生瞬時突變，即脈沖現象，如果不考慮該現象對模型的影響，就會使模型失真，然而對有脈沖影響的分數階微分方程的相關研究還比較少，本文受文獻[6]的啟發，在原來方程的基礎上加上了擾動項和脈沖項，即考慮如下的分數階脈沖微分方程的邊值問題：

本文研究的方程（2）與文獻[6]中提到的方程不同之處在于多加了擾動項和脈沖項，使得求此類方程邊值問題解變得更復雜些，通過對其建立變分結構，再利用臨界點理論中的山路引理等，證明出了當滿足某些新的條件時，該方程至少存在一個非平凡解。

1? 預備知識

山路引理是由Rabinowitz[9]提出的，不僅可用于求證整數階微分方程對應泛函的臨界點，還能用于求分數階微分方程的相應問題。

2? 變分結構

綜上，可知泛函? 至少存在一個非平凡臨界點，即邊值問題（2）至少存在一個非平凡解。證畢。

4? 結? 論

本文基于臨界點理論，研究了一類帶脈沖項和擾動項的分數階微分方程邊值問題。首先在恰當的空間內建立起了變分結構，再利用山路引理等得出結論：當方程滿足條件假設1、假設2、假設3、假設4，且當λ>λ1時，至少存在一個非平凡解。

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作者簡介：彭元雙（1989.02—），男，土家族，湖南保靖人，碩士研究生，研究方向：微分方程與動力系統;陳國平（1964. 06—），男，漢族，湖南邵陽人，教授，博士，研究方向：微分方程與動力系統研究;董彥君（1991.07—），女，漢族，廣西百色

人，助教，碩士研究生，研究方向：微分方程與動力系統。